Considere o campo vetorial
Calcule , onde é qualquer curva de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de qualquer curva que vai de até . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de campos conservativos. Precisamos verificar se é conservativo e, se for, encontrar um potencial para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele é o gradiente de alguma função escalar, ou seja, . Para isso, devemos verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Calculando as derivadas:
Então,
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que é conservativo, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Onde é uma função que depende apenas de . Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante, já que ela desaparece na diferença.
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando nos pontos finais da curva . A integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos e é dada por:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular em e :
Agora, a integral é:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Considere a curva dada pela interseção do plano com a parte da esfera que está no primeiro octante, entre os pontos e . Calcule
Considere o campo vetorial
Determine um potencial para .
Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo para , em seguida ao longo de um segmento de reta até , e então de volta à origem ao longo do eixo .
Considere o p.v.i
a. Resolva o p.v.i.