Considere o campo vetorial
F(x, y)=(1-y e^-x) i+e^-x j
(0,5) Calcule integralC F cdot d r, onde C é qualquer curva de (0,1) a (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de qualquer curva que vai de até . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de campos conservativos. Precisamos verificar se é conservativo e, se for, encontrar um potencial para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o campo partial Fxpartial y = partial Fypartial x é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele é o gradiente de alguma função escalar, ou seja, Fx = 1 - y e^-x Fy = e^-x . Para isso, devemos verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
partial Fxpartial y = -e^-x partial Fypartial x = -e^-x
Calculando as derivadas:
Então,
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que partial phipartial x = Fx = 1 - y e^-x partial phipartial y = Fy = e^-x é conservativo, podemos encontrar uma função potencial phi(x, y) = integral (1 - y e^-x) dx = x + y e^-x + g(y) tal que:
partial phipartial y = e^-x + g'(y) = e^-x
Vamos integrar phi(x, y) = x + y e^-x em relação a para encontrar :
Onde é uma função que depende apenas de . Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante, já que ela desaparece na diferença.
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A) encontrada, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando nos pontos finais da curva . A integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos e é dada por:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular phi(1, 2) = 1 + 2 e^-1 phi(0, 1) = 0 + 1 e^0 = 1 em integralC F cdot dr = (1 + 2 e^-1) - 1 = 2 e^-1 e :
Agora, a integral é:

Resposta

A integral vale .

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