Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é qualquer curva de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo de qualquer curva
que vai de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de campos conservativos. Precisamos verificar se
é conservativo e, se for, encontrar um potencial para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele é o gradiente de alguma função escalar, ou seja,
. Para isso, devemos verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Calculando as derivadas:
Então,
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos ignorar essa constante, já que ela desaparece na diferença.
Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial
encontrada, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando
nos pontos finais da curva
. A integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos
e
é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
em
e
:
Agora, a integral é:
Resposta
A integral
vale
.