Considere a curva C dada pela interseção do plano y=x com a parte da esfera x^2+y^2+z^2=2 que está no primeiro octante, entre os pontos A=(0,0, raiz2) e B(1raiz2, 1raiz2, 1). (2,0) Calcule integralC(x+3 y) d s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva que é a interseção do plano com a esfera no primeiro octante, entre os pontos e . A matéria envolvida aqui inclui geometria espacial e cálculo de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e então calcular a integral .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva x^2 + x^2 + z^2 = 2 implies 2x^2 + z^2 = 2 . Ela é a interseção entre o plano e a esfera . Como , podemos substituir essa relação na equação da esfera:

Passo 3

Agora, vamos resolver para z^2 = 2 - 2x^2 implies z = raiz2 - 2x^2 em termos de :
Como estamos no primeiro octante, é positivo.

Passo 4

Então, podemos parametrizar a curva x = x y = x z = raiz2 - 2x^2 em termos de :
Agora, precisamos determinar os limites de para os pontos e .

Passo 5

Vamos encontrar os valores de em e :
Para o ponto , temos .
Para o ponto , temos .
Então, varia de a .

Passo 6

Agora, vamos calcular o diferencial de arco ds = raiz(dxdx)^2 + (dydx)^2 + (dzdx)^2 , dx . Para uma parametrização em termos de dzdx = -4x 2 raiz2 - 2x^2 = -2x raiz2 - 2x^2 , temos:
Sabendo que , temos . E de , derivando em relação a :

Passo 7

Substituindo na expressão de ds = raiz1 + 1 + (-2xraiz2 - 2x^2)^2 , dx = raiz2 + 4x^22 - 2x^2 :
raiz2 + 4x^22(1 - x^2) = raiz2 + 2x^21 - x^2
Simplificando o denominador:

Passo 8

Vamos simplificar mais a expressão dentro da raiz:
2 + 2x^21 - x^2 = 2(1 - x^2) + 2x^21 - x^2 = 2 - 2x^2 + 2x^21 - x^2 = 21 - x^2
Portanto,
ds = raiz21 - x^2 = raiz2raiz1 - x^2

Passo 9

Agora, substituímos x + 3y = x + 3x = 4x na função a ser integrada:
integralC (x + 3y) , ds = integral0^1raiz2 4x cdot raiz2raiz1 - x^2 , dx = 4raiz2 integral0^1raiz2 xraiz1 - x^2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, fazemos uma substituição para resolver a integral. Seja , então , ou seja, .
Mudando os limites:
Quando , .
Quando , .

Passo 11

Substituindo na integral:
4raiz2 integral1^12 1raizu cdot ( -12 du ) = 4raiz2 cdot ( -12 ) integral1^12 u^-1/2 , du = -2raiz2 integral1^12 u^-1/2 , du

Passo 12

Resolvendo a integral:
-2raiz2 [ 2u^1/2 ]1^12 = -2raiz2 ( 2raiz12 - 2raiz1 ) = -2raiz2 ( 2 cdot 1raiz2 - 2 ) = -2raiz2 ( raiz2 - 2 )

Passo 13

Simplificando:
-2raiz2 cdot raiz2 + 4raiz2 = -4 + 4raiz2

Resposta

integralC(x + 3y) , ds = 4raiz2 - 4

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