Considere a curva dada pela interseção do plano com a parte da esfera que está no primeiro octante, entre os pontos e . Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva que é a interseção do plano com a esfera no primeiro octante, entre os pontos e . A matéria envolvida aqui inclui geometria espacial e cálculo de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e então calcular a integral .
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção entre o plano e a esfera . Como , podemos substituir essa relação na equação da esfera:
Passo 3
Agora, vamos resolver para em termos de :
Como estamos no primeiro octante, é positivo.
Passo 4
Então, podemos parametrizar a curva em termos de :
Agora, precisamos determinar os limites de para os pontos e .
Passo 5
Vamos encontrar os valores de em e :
Para o ponto , temos .
Para o ponto , temos .
Então, varia de a .
Passo 6
Agora, vamos calcular o diferencial de arco . Para uma parametrização em termos de , temos:
Sabendo que , temos . E de , derivando em relação a :
Passo 7
Substituindo na expressão de :
Simplificando o denominador:
Passo 8
Vamos simplificar mais a expressão dentro da raiz:
Portanto,
Passo 9
Agora, substituímos na função a ser integrada:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, fazemos uma substituição para resolver a integral. Seja , então , ou seja, .