Considere a curva dada pela interseção do plano com a parte da esfera que está no primeiro octante, entre os pontos e . Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva que é a interseção do plano com a esfera no primeiro octante, entre os pontos e . A matéria envolvida aqui inclui geometria espacial e cálculo de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e então calcular a integral .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção entre o plano e a esfera . Como , podemos substituir essa relação na equação da esfera:

Passo 3

Agora, vamos resolver para em termos de :
Como estamos no primeiro octante, é positivo.

Passo 4

Então, podemos parametrizar a curva em termos de :
Agora, precisamos determinar os limites de para os pontos e .

Passo 5

Vamos encontrar os valores de em e :
Para o ponto , temos .
Para o ponto , temos .
Então, varia de a .

Passo 6

Agora, vamos calcular o diferencial de arco . Para uma parametrização em termos de , temos:
Sabendo que , temos . E de , derivando em relação a :

Passo 7

Substituindo na expressão de :
Simplificando o denominador:

Passo 8

Vamos simplificar mais a expressão dentro da raiz:
Portanto,

Passo 9

Agora, substituímos na função a ser integrada:
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, fazemos uma substituição para resolver a integral. Seja , então , ou seja, .
Mudando os limites:
Quando , .
Quando , .

Passo 11

Substituindo na integral:

Passo 12

Resolvendo a integral:

Passo 13

Simplificando:

Resposta

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