Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força
F(x, y) = <y cos(x) - x y sen(x), x y + x cos(x)>
ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para 2,0, em seguida ao longo de um segmento de reta até (0,4), e então de volta à origem ao longo do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o Teorema de Green. O problema pede para calcular o trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula por um caminho fechado composto por três segmentos: do ponto de origem até ao longo do eixo , depois até em linha reta, e finalmente de volta à origem pelo eixo . Vamos usar o Teorema de Green para facilitar essa conta, já que ele relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pelo caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o trabalho realizado por uma força em um caminho. O trabalho é dado pela integral de linha da força ao longo do trajeto:
Como o caminho é fechado, podemos aplicar o Teorema de Green, que nos diz que:
onde e é a região delimitada por .

Passo 3

Vamos identificar e na força dada:
Então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e :

Passo 5

Subtraindo as derivadas:
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração para a região . O caminho é composto por três segmentos:
  1. Do a ao longo do eixo .
  2. Da a em linha reta.
  3. Da de volta ao ao longo do eixo .
Essa região é um triângulo com vértices em , e . Para definir os limites, podemos expressar em função de ou vice-versa. Vamos resolver para em função de .
A linha que vai de a tem equação:
Então, para variando de a , varia de a .

Passo 7

Montamos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Calculando a integral:

Resposta

O trabalho realizado pela força é unidades de trabalho.

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