Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo
para
, em seguida ao longo de um segmento de reta até
, e então de volta à origem ao longo do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o Teorema de Green. O problema pede para calcular o trabalho realizado por uma força
ao mover uma partícula por um caminho fechado composto por três segmentos: do ponto de origem
até
ao longo do eixo
, depois até
em linha reta, e finalmente de volta à origem pelo eixo
. Vamos usar o Teorema de Green para facilitar essa conta, já que ele relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pelo caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o trabalho realizado por uma força em um caminho. O trabalho
é dado pela integral de linha da força ao longo do trajeto:
Como o caminho
é fechado, podemos aplicar o Teorema de Green, que nos diz que:
onde
e
é a região delimitada por
.
Passo 3
Vamos identificar
e
na força dada:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
:
Passo 5
Subtraindo as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração para a região
. O caminho
é composto por três segmentos:
- Do
a ao longo do eixo . - Da
a em linha reta. - Da
de volta ao ao longo do eixo .
Essa região é um triângulo com vértices em
,
e
. Para definir os limites, podemos expressar
em função de
ou vice-versa. Vamos resolver para
em função de
.
A linha que vai de
a
tem equação:
Então, para
variando de
a
,
varia de
a
.
Passo 7
Montamos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Calculando a integral:
Resposta
O trabalho realizado pela força é
unidades de trabalho.