Considere o p.v.i
4y'' + 4y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2
a. Resolva o p.v.i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (p.v.i) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Aqui, a gente vai trabalhar com a matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente equações lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, a gente assume uma solução do tipo , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial, calculamos as derivadas:
Agora, substituindo na equação original:

Passo 4

Podemos fatorar (que nunca é zero):
Como , temos que resolver a equação característica:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Calculando o discriminante:

Passo 6

Como o discriminante , temos uma raiz dupla:
Isso significa que a solução geral da EDO é:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, com :

Passo 8

Segundo, calculamos a derivada da solução geral:
Aplicando :

Resposta

A solução do p.v.i é:

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