Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (p.v.i) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Aqui, a gente vai trabalhar com a matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente equações lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, a gente assume uma solução do tipo , onde é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo na equação diferencial, calculamos as derivadas:
Agora, substituindo na equação original:
Passo 4
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Como , temos que resolver a equação característica:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Calculando o discriminante:
Passo 6
Como o discriminante , temos uma raiz dupla:
Isso significa que a solução geral da EDO é:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .