Considere o campo vetorial F(x, y) = (e^(-y), -x e^(-y)).
(a) Mostre, SEM a utilização de uma função pontecial, que F é um campo conservativo;
(b) Calcule f de modo que nabla(f) = F;
© Determine o trabalho realizado por F ao mover um objeto de A=(1,1) até B = (2, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre campo vetorial e trabalho realizado por esse campo. A gente vai precisar usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e funções potenciais. Vamos resolver cada parte passo a passo para deixar tudo bem claro.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que é um campo conservativo sem usar uma função potencial.
Primeiro, o que é um campo conservativo? É um campo vetorial onde o trabalho realizado não depende do caminho escolhido, só dos pontos inicial e final. Para verificar se um campo é conservativo em duas dimensões, a gente pode usar o teste da derivada mista.
Para um campo , ele é conservativo se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , ou seja:
Vamos aplicar isso no nosso campo :
Calculando as derivadas:
Como , concluímos que é um campo conservativo.

Passo 3

Parte (b): Calcular de modo que .
Queremos encontrar uma função cujas derivadas parciais sejam dadas por:
Vamos começar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando , temos constante. Podemos ignorar a constante (pois ela não afeta o gradiente), então:

Passo 4

Parte ©: Determinar o trabalho realizado por ao mover um objeto de até .
Como é um campo conservativo, o trabalho realizado depende apenas das posições inicial e final e pode ser calculado usando a função potencial :
Já encontramos . Vamos calcular nos pontos e :
Então, o trabalho realizado é:
Se quiser deixar em forma decimal, considerando que :

Resposta

O trabalho realizado por ao mover um objeto de até é unidades de trabalho, aproximadamente 1,632.

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