Considere o campo vetorial
.
(a) Mostre, SEM a utilização de uma função pontecial, que
é um campo conservativo;
(b) Calcule
de modo que
;
© Determine o trabalho realizado por
ao mover um objeto de
até
.
(a) Mostre, SEM a utilização de uma função pontecial, que
(b) Calcule
© Determine o trabalho realizado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre campo vetorial e trabalho realizado por esse campo. A gente vai precisar usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e funções potenciais. Vamos resolver cada parte passo a passo para deixar tudo bem claro.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
é um campo conservativo sem usar uma função potencial.
Primeiro, o que é um campo conservativo? É um campo vetorial onde o trabalho realizado não depende do caminho escolhido, só dos pontos inicial e final. Para verificar se um campo é conservativo em duas dimensões, a gente pode usar o teste da derivada mista.
Para um campo
, ele é conservativo se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Vamos aplicar isso no nosso campo
:
Calculando as derivadas:
Como
, concluímos que
é um campo conservativo.
Passo 3
Parte (b): Calcular
de modo que
.
Queremos encontrar uma função
cujas derivadas parciais sejam dadas por:
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Integrando
, temos
constante. Podemos ignorar a constante (pois ela não afeta o gradiente), então:
Passo 4
Parte ©: Determinar o trabalho realizado por
ao mover um objeto de
até
.
Como
é um campo conservativo, o trabalho realizado depende apenas das posições inicial e final e pode ser calculado usando a função potencial
:
Já encontramos
. Vamos calcular
nos pontos
e
:
Então, o trabalho realizado é:
Se quiser deixar em forma decimal, considerando que
:
Resposta
O trabalho realizado por
ao mover um objeto de
até
é
unidades de trabalho, aproximadamente 1,632.