Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar e depois .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação e precisamos encontrar a derivada de em relação a ( ) e a segunda derivada ( ) usando derivada implícita. Para isso, vamos usar o conceito de derivação de funções implícitas, onde é uma função de mesmo não estando isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, quando diferenciamos em relação a , usamos a regra da cadeia, ou seja, multiplicamos pela derivada de ( ).
Diferenciando:
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Vamos levar para o outro lado da equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos diferenciar em relação a .
Primeiro, reescrevemos de forma mais fácil de diferenciar:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra do produto para diferenciar :
Substituindo que encontramos anteriormente:
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:
E a segunda derivada é:

Exercícios relacionados

Use o Teorema do Divergente para calcular
onde é a esfera .
Obtenha uma aproximação linear para a função no ponto e compare o valor de no ponto com o valor da aproximação nesse ponto.
Determine os pontos críticos da função e classifique-os.