Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar
e depois
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação
e precisamos encontrar a derivada de
em relação a
(
) e a segunda derivada (
) usando derivada implícita. Para isso, vamos usar o conceito de derivação de funções implícitas, onde
é uma função de
mesmo não estando isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, quando diferenciamos
em relação a
, usamos a regra da cadeia, ou seja, multiplicamos pela derivada de
(
).
Diferenciando:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Vamos levar
para o outro lado da equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora que temos
, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos diferenciar
em relação a
.
Primeiro, reescrevemos
de forma mais fácil de diferenciar:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a regra do produto para diferenciar
:
Substituindo
que encontramos anteriormente:
Simplificando:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
E a segunda derivada é:
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Divergente para calcular
onde
é a esfera
.
Obtenha uma aproximação linear para a função
no ponto
e compare o valor de
no ponto
com o valor da aproximação nesse ponto.
Determine os pontos críticos da função
e classifique-os.