Determine uma equação do plano que passa pelo ponto
e que corta o menor volume do primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto
e que corta o menor volume possível no primeiro octante. Isso envolve geometria analítica e otimização. Vamos precisar lembrar como escrever a equação de um plano e como calcular o volume formado pela interseção desse plano com os eixos coordenados no primeiro octante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como escrever a equação de um plano. Geralmente, usamos a forma:
Aqui,
,
e
são os pontos onde o plano intercepta os eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Como o plano passa pelo ponto
, podemos substituir esses valores na equação do plano para criar uma relação entre
,
e
:
Passo 4
Agora, queremos minimizar o volume cortado pelo plano no primeiro octante. Esse volume é o tetraedro formado pelos pontos de interseção do plano com os eixos. A fórmula para o volume
desse tetraedro é:
Como queremos minimizar
, na verdade precisamos minimizar
.
Passo 5
Para minimizar
com a restrição
, podemos usar o método de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições.
Definimos a função Lagrangiana:
Passo 6
Vamos derivar essa função em relação a
,
,
e
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Agora, igualamos as expressões de
obtidas:
Simplificando:
De
, dividindo ambos os lados por
:
De
, dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, temos duas relações:
Portanto:
Passo 9
Substituindo
e
na restrição original
:
Então,
Passo 10
Agora, encontramos que:
Resposta
A equação do plano é
Exercícios relacionados
Determine o ponto de interseção das retas tangentes à curva
nos pontos
e
.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(h)
(h)
Use o Teorema do Divergente para calcular
onde
é a esfera
.