Determine uma equação do plano que passa pelo ponto e que corta o menor volume do primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que corta o menor volume possível no primeiro octante. Isso envolve geometria analítica e otimização. Vamos precisar lembrar como escrever a equação de um plano e como calcular o volume formado pela interseção desse plano com os eixos coordenados no primeiro octante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como escrever a equação de um plano. Geralmente, usamos a forma:
Aqui, , e são os pontos onde o plano intercepta os eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Como o plano passa pelo ponto , podemos substituir esses valores na equação do plano para criar uma relação entre , e :

Passo 4

Agora, queremos minimizar o volume cortado pelo plano no primeiro octante. Esse volume é o tetraedro formado pelos pontos de interseção do plano com os eixos. A fórmula para o volume desse tetraedro é:
Como queremos minimizar , na verdade precisamos minimizar .

Passo 5

Para minimizar com a restrição , podemos usar o método de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições.
Definimos a função Lagrangiana:

Passo 6

Vamos derivar essa função em relação a , , e e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 7

Agora, igualamos as expressões de obtidas:
Simplificando:
De , dividindo ambos os lados por :
De , dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora, temos duas relações:
Portanto:

Passo 9

Substituindo e na restrição original :
Então,

Passo 10

Agora, encontramos que:

Resposta

A equação do plano é

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(h)
Use o Teorema do Divergente para calcular
onde é a esfera .