Obtenha uma aproximação linear para a função no ponto e compare o valor de no ponto com o valor da aproximação nesse ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma aproximação linear para a função no ponto . Além disso, precisamos comparar o valor real de no ponto com o valor aproximado usando a nossa aproximação linear. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para construir a aproximação linear da função em torno do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma aproximação linear. Basicamente, é uma maneira de aproximar uma função suave perto de um ponto específico usando uma reta (no caso de funções de uma variável) ou um plano (no caso de funções de duas variáveis). A fórmula geral para a aproximação linear de uma função de duas variáveis no ponto é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, avaliadas no ponto .

Passo 3

Vamos identificar nossa função e o ponto de aproximação. A função dada é:
E o ponto de aproximação é . Vamos verificar se está na função:
Está tudo certo, está na função.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Vamos simplificar a expressão:
Então,
Agora, a derivada parcial em relação a :
Simplificando novamente:
Então,

Passo 5

Vamos agora avaliar as derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 6

Com isso, podemos escrever a aproximação linear no ponto :
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos usar a aproximação linear para estimar o valor de no ponto :

Passo 8

Vamos comparar com o valor real de no ponto :

Resposta

A aproximação linear no ponto é , enquanto o valor real de em é . Portanto, a aproximação linear difere significativamente do valor real nesse ponto.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar e depois .
Determine os pontos críticos da função e classifique-os.
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