Use o Teorema do Divergente para calcular
onde
é a esfera
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície
onde
é a esfera
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que conecta integrais de superfície com integrais de volume. Para aplicar esse teorema, precisamos identificar um campo vetorial cuja divergente seja igual à função dentro da integral de superfície.
Passo 2
O Teorema da Divergente diz que para um campo vetorial
,
onde
é o vetor normal à superfície
e
é o volume interno a
. Nosso objetivo é fazer com que
.
Passo 3
Vamos escolher um campo vetorial
tal que sua divergente seja igual à função dada:
Podemos encontrar
integrando cada termo da divergente:
-
Para
: Podemos considerarpara simplificar. -
Para
: Novamente,. -
Para
: E.
Então, o campo vetorial escolhido é:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema da Divergente:
Sabendo que
, precisamos calcular a integral de volume sobre a esfera unitária
.
Passo 5
Para calcular a integral de volume, é conveniente usar coordenadas esféricas devido à simetria da esfera. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é:
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Integral de
:
- Integral de
:
Como a função
é ímpar e a região é simétrica, essa integral será zero:
- Integral de
:
Resposta
Somando todas as integrais:
Portanto, o valor final da integral é:
Exercícios relacionados
Determine uma equação do plano que passa pelo ponto
e que corta o menor volume do primeiro octante.
Determine o ponto de interseção das retas tangentes à curva
nos pontos
e
.
Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar
e depois
.