Use o Teorema do Divergente para calcular
integral duplaS(2 x^2+3 y+3 z^2) d S
onde S é a esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície
integral duplaS(2 x^2+3 y+3 z^2) d S
onde é a esfera . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que conecta integrais de superfície com integrais de volume. Para aplicar esse teorema, precisamos identificar um campo vetorial cuja divergente seja igual à função dentro da integral de superfície.

Passo 2

O Teorema da Divergente diz que para um campo vetorial integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV ,
onde é o vetor normal à superfície e é o volume interno a . Nosso objetivo é fazer com que .

Passo 3

Vamos escolher um campo vetorial nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z = 2x^2+3 y+3 z^2 tal que sua divergente seja igual à função dada:
partial Fxpartial x = 2x^2 Rightarrow Fx = 23x^3 + C
Podemos encontrar partial Fypartial y = 3y Rightarrow Fy = 32y^2 + C integrando cada termo da divergente:
  • Para partial Fzpartial z = 3z^2 Rightarrow Fz = z^3 + C :
    F = ( 23x^3, 32y^2, z^3 )
    Podemos considerar para simplificar.
  • Para :
    Novamente, .
  • Para :
    E .
Então, o campo vetorial escolhido é:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema da Divergente:
integral duplaS(2 x^2+3 y+3 z^2) d S = integral triplaV nabla cdot F , dV
Sabendo que , precisamos calcular a integral de volume sobre a esfera unitária .

Passo 5

Para calcular a integral de volume, é conveniente usar coordenadas esféricas devido à simetria da esfera. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi
E o elemento de volume é:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de integral triplaV 2x^2 , dV = 2 integral triplaV x^2 , dV = 2 cdot 4pi15 = 8pi15 :
integral triplaV 3y , dV = 0
  1. Integral de integral triplaV 3z^2 , dV = 3 integral triplaV z^2 , dV = 3 cdot 4pi15 = 12pi15 = 4pi5 :
Como a função é ímpar e a região é simétrica, essa integral será zero:
  1. Integral de :

Resposta

Somando todas as integrais:
integral duplaS(2 x^2+3 y+3 z^2) d S = 8pi15 + 0 + 4pi5 = 8pi15 + 12pi15 = 20pi15 = 4pi3
Portanto, o valor final da integral é:
4pi3

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