Use o Teorema do Divergente para calcular
onde é a esfera .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície
onde é a esfera . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que conecta integrais de superfície com integrais de volume. Para aplicar esse teorema, precisamos identificar um campo vetorial cuja divergente seja igual à função dentro da integral de superfície.

Passo 2

O Teorema da Divergente diz que para um campo vetorial ,
onde é o vetor normal à superfície e é o volume interno a . Nosso objetivo é fazer com que .

Passo 3

Vamos escolher um campo vetorial tal que sua divergente seja igual à função dada:
Podemos encontrar integrando cada termo da divergente:
  • Para :
    Podemos considerar para simplificar.
  • Para :
    Novamente, .
  • Para :
    E .
Então, o campo vetorial escolhido é:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema da Divergente:
Sabendo que , precisamos calcular a integral de volume sobre a esfera unitária .

Passo 5

Para calcular a integral de volume, é conveniente usar coordenadas esféricas devido à simetria da esfera. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é:
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de :
  1. Integral de :
Como a função é ímpar e a região é simétrica, essa integral será zero:
  1. Integral de :

Resposta

Somando todas as integrais:
Portanto, o valor final da integral é:

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