Considere o campo vetorial
F(x, y) = (e^x + 2 e^y + 3, 2 x e^y - 1)
O campo F é conservativo? Em caso afirmativo, encontre sua função potencial f;

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também temos que encontrar a função potencial desse campo. Isso entra na área de Cálculo Vetorial, mais especificamente no estudo de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que torna um campo conservativo e usar umas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, lembrar que um campo vetorial é conservativo se existe uma função tal que . Isso significa que:
Uma condição chave pra saber se o campo é conservativo é verificar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, :
Agora, :

Passo 4

Comparando as derivadas:
Como elas são iguais, isso confirma que o campo é conservativo!

Passo 5

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função só de (a constante da integração).
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Integrando em relação a :
onde é uma constante.
Então, a função potencial é:

Resposta

Sim, o campo é conservativo. Uma função potencial para ele é:
onde é uma constante.

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