Considere o campo vetorial
O campo
é conservativo? Em caso afirmativo, encontre sua função potencial
;
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também temos que encontrar a função potencial
desse campo. Isso entra na área de Cálculo Vetorial, mais especificamente no estudo de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que torna um campo conservativo e usar umas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existe uma função
tal que
. Isso significa que:
Uma condição chave pra saber se o campo é conservativo é verificar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 4
Comparando as derivadas:
Como elas são iguais, isso confirma que o campo
é conservativo!
Passo 5
Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função só de
(a constante da integração).
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma constante.
Então, a função potencial é:
Resposta
Sim, o campo
é conservativo. Uma função potencial para ele é:
onde
é uma constante.
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Determine
em que
e
é a parte do cilindro
que está entre o paraboloide
e o plano
, com todos os vetores normais apontando para o exterior da superfície.
Considere as curvas
é o segmento de reta de
a
e
é o círculo de centro na origem e raio 2 que está no segundo quadrante. Parametrize
e
(escreva usando função vetorial
);
Considere o campo vetorial
Calcule
e
;
Use o Teorema de Stokes para calcular
, com