Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (e^y + 2, x e^y + z + 1, y + 2 z - 1)
Calcule Div(F) e Rot(F);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisamos calcular a divergência ( ) e o rotacional ( ) desse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de divergência e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência é dada pela soma das derivadas parciais de cada componente de em relação às suas respectivas variáveis. Ou seja:
Vamos identificar cada componente de :
Agora, calculamos cada derivada parcial:
  • (pois não há em )
  • (a derivada de em relação a é e as demais partes são constantes)
  • (a derivada de em relação a é 2)
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional é um vetor que mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto e é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o rotacional de é:

Resposta

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