Considere o campo vetorial
Calcule
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisamos calcular a divergência (
) e o rotacional (
) desse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de divergência e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada pela soma das derivadas parciais de cada componente de
em relação às suas respectivas variáveis. Ou seja:
Vamos identificar cada componente de
:
Agora, calculamos cada derivada parcial:
-
(pois não há em ) -
(a derivada de em relação a é e as demais partes são constantes) -
(a derivada de em relação a é 2)
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional é um vetor que mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto e é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o rotacional de
é:
Resposta
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Considere o campo vetorial
O campo
é conservativo? Em caso afirmativo, encontre sua função potencial
;
Determine
em que
e
é a parte do cilindro
que está entre o paraboloide
e o plano
, com todos os vetores normais apontando para o exterior da superfície.
Use o Teorema de Stokes para calcular
, com
Considere
a superfície
com
e
. Parametrize a superfície. (Dica: use
e
para parametrizar para fazer sentido com o item abaixo).