Considere o campo vetorial
Calcule
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisamos calcular a divergência (
) e o rotacional (
) desse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de divergência e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada pela soma das derivadas parciais de cada componente de
em relação às suas respectivas variáveis. Ou seja:
Vamos identificar cada componente de
:
Agora, calculamos cada derivada parcial:
-
(pois não há em ) -
(a derivada de em relação a é e as demais partes são constantes) -
(a derivada de em relação a é 2)
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional é um vetor que mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto e é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o rotacional de
é: