Considere o campo vetorial
Calcule e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisamos calcular a divergência ( ) e o rotacional ( ) desse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de divergência e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência é dada pela soma das derivadas parciais de cada componente de em relação às suas respectivas variáveis. Ou seja:
Vamos identificar cada componente de :
Agora, calculamos cada derivada parcial:
  • (pois não há em )
  • (a derivada de em relação a é e as demais partes são constantes)
  • (a derivada de em relação a é 2)
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional é um vetor que mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto e é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o rotacional de é:

Resposta

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Considere o campo vetorial
O campo é conservativo? Em caso afirmativo, encontre sua função potencial ;
Determine
em que e é a parte do cilindro que está entre o paraboloide e o plano , com todos os vetores normais apontando para o exterior da superfície.
Use o Teorema de Stokes para calcular , com
é a fronteira do paraboloide no primeiro octante. Considere orientada no sentido antihorário quando vista de cima.
Considere a superfície com e . Parametrize a superfície. (Dica: use e para parametrizar para fazer sentido com o item abaixo).