Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se um campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para ele. Aqui, o campo vetorial dado é
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que:
Para verificar se o campo é conservativo, uma condição necessária (e suficiente, em domínios simplesmente conexos) é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo
.
Primeiro, identifiquemos
e
:
Agora, calculemos as derivadas parciais:
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todos os valores de
e
. Observamos que
a menos que
, o que não é verdade para todos os
e
. Portanto, as derivadas não são iguais.
Resposta
O campo vetorial dado não é conservativo.