Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para F.
a) F = e^(x+y) i + e^(xy) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se um campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para ele. Aqui, o campo vetorial dado é . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função escalar tal que . Isso significa que:
Para verificar se o campo é conservativo, uma condição necessária (e suficiente, em domínios simplesmente conexos) é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo .
Primeiro, identifiquemos P e Q:
Agora, calculemos as derivadas parciais:
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todos os valores de x e y. Observamos que a menos que , o que não é verdade para todos os x e y. Portanto, as derivadas não são iguais.

Resposta

O campo vetorial dado não é conservativo.

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