Considere o campo vetorial .
(b) Calcule , onde é uma curva fechada de classe que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha , onde é uma curva fechada que envolve a origem e é orientada no sentido anti-horário.
Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente Integral de Linha e o Teorema de Green, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de linha . Ela representa o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo da curva . No nosso caso, como a curva é fechada e envolve a origem, podemos aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.

Passo 3

O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula é:
Onde . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular e :

Passo 5

Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão sobre a região . Observamos que tem uma singularidade na origem, então a integral na verdade calcula a “circulação” ao redor dessa singularidade. Devido à simetria, sabemos que essa integral resultará em .

Resposta

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Mostre que as seguintes funçōes nāo possuem pontos críticos:
;
Derive cada função abaixo.
Simplifique os radicais
Simplifique os radicais