Considere o campo vetorial F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2).
(b) Calcule ointC F cdot d r, onde C é uma curva fechada de classe C^1 que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha , onde é uma curva fechada que envolve a origem e é orientada no sentido anti-horário.
Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente Integral de Linha e o Teorema de Green, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de linha . Ela representa o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo da curva . No nosso caso, como a curva é fechada e envolve a origem, podemos aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.

Passo 3

O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA delimitada por . A fórmula é:
Onde . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular partial Qpartial x = partialpartial x ( xx^2 + y^2 ) = (x^2 + y^2)(1) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 e partial Ppartial y = partialpartial y ( -yx^2 + y^2 ) = -(x^2 + y^2) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 :

Passo 5

Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = 2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão sobre a região . Observamos que tem uma singularidade na origem, então a integral na verdade calcula a “circulação” ao redor dessa singularidade. Devido à simetria, sabemos que essa integral resultará em .

Resposta

ointC F cdot dr = 2pi

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