Considere o campo vetorial
.
(b) Calcule
, onde
é uma curva fechada de classe
que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário.
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos calcular a integral de linha
, onde
é uma curva fechada que envolve a origem e é orientada no sentido anti-horário.
Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente Integral de Linha e o Teorema de Green, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de linha
. Ela representa o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao longo da curva
. No nosso caso, como a curva é fechada e envolve a origem, podemos aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.
Passo 3
O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula é:
Onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão sobre a região
. Observamos que
tem uma singularidade na origem, então a integral na verdade calcula a “circulação” ao redor dessa singularidade. Devido à simetria, sabemos que essa integral resultará em
.
Resposta
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Mostre que as seguintes funçōes nāo possuem pontos críticos:
;
Derive cada função abaixo.
Simplifique os radicais
Simplifique os radicais