Considere o campo vetorial
.
(a) Calcule
ao longo da parábola
.
(a) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da parábola
, indo do ponto
até
.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva (ou seja, expressar
e
em função de um parâmetro, geralmente
) e então calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a parábola
. Para facilitar, vamos usar
como nosso parâmetro. Ou seja, deixamos
, onde
varia de 1 a 2 (já que estamos indo de
até
).
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
para calcular
, que é o vetor derivada da posição:
Passo 4
Agora, substituímos
e
no campo vetorial
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Passo 7
A integral fica então:
Essa integral pode ser complexo de resolver diretamente, mas observando o campo vetorial
, percebemos que ele é conservativo, o que simplifica bastante o cálculo.
Passo 8
Na verdade, o campo
é o campo rotacional associado à função de potencial
, que representa o ângulo polar.
Nesse caso, a integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido.
Passo 9
A mudança no ângulo
ao mover de
para
pode ser calculada diretamente. No ponto
,
, e no ponto
,
.
Então, a integral é simplesmente a diferença desses ângulos:
Resposta
A integral
ao longo da parábola
vale
.
Exercícios relacionados
Reescreva os radicais com o menor índice possível
Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números
, tais que
.
;
Racionalize o denominador
Calcule a derivada das funções abaixo.
sabendo que