Considere o campo vetorial .
(a) Calcule ao longo da parábola .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da parábola , indo do ponto até .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva (ou seja, expressar e em função de um parâmetro, geralmente ) e então calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a parábola . Para facilitar, vamos usar como nosso parâmetro. Ou seja, deixamos , onde varia de 1 a 2 (já que estamos indo de até ).
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e para calcular , que é o vetor derivada da posição:

Passo 4

Agora, substituímos e no campo vetorial :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:

Passo 7

A integral fica então:
Essa integral pode ser complexo de resolver diretamente, mas observando o campo vetorial , percebemos que ele é conservativo, o que simplifica bastante o cálculo.

Passo 8

Na verdade, o campo é o campo rotacional associado à função de potencial , que representa o ângulo polar.
Nesse caso, a integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido.

Passo 9

A mudança no ângulo ao mover de para pode ser calculada diretamente. No ponto , , e no ponto , .
Então, a integral é simplesmente a diferença desses ângulos:

Resposta

A integral ao longo da parábola vale .

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;
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sabendo que