Considere o campo vetorial F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2).
(a) Calcule integral(1,0)^2,1 F cdot d r ao longo da parábola y=(x-1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da parábola , indo do ponto até .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva (ou seja, expressar e em função de um parâmetro, geralmente ) e então calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a parábola x(t) = t . Para facilitar, vamos usar y(t) = (t - 1)^2 como nosso parâmetro. Ou seja, deixamos Onde t varia de 1 a 2 , onde varia de 1 a 2 (já que estamos indo de até ).
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dxdt = 1 e dydt = 2(t - 1) para calcular dr = ( dxdt, dydt ) dt = (1, 2(t - 1)) dt , que é o vetor derivada da posição:

Passo 4

Agora, substituímos F(x(t), y(t)) = ( -y(t)x(t)^2 + y(t)^2, x(t)x(t)^2 + y(t)^2 ) = ( -(t - 1)^2t^2 + (t - 1)^4, tt^2 + (t - 1)^4 ) e no campo vetorial :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = ( -(t - 1)^2t^2 + (t - 1)^4 ) cdot 1 + ( tt^2 + (t - 1)^4 ) cdot 2(t - 1) :
= -(t - 1)^2t^2 + (t - 1)^4 + 2t(t - 1)t^2 + (t - 1)^4

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
F cdot dr = -(t - 1)^2 + 2t(t - 1)t^2 + (t - 1)^4
= -(t^2 - 2t + 1) + 2t^2 - 2tt^2 + (t^4 - 4t^3 + 6t^2 - 4t + 1)
= t^2 - 0t - 1t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t + 1

Passo 7

A integral fica então:
integral1^2 t^2 - 1t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t + 1 dt
Essa integral pode ser complexo de resolver diretamente, mas observando o campo vetorial , percebemos que ele é conservativo, o que simplifica bastante o cálculo.

Passo 8

Na verdade, o campo é o campo rotacional associado à função de potencial , que representa o ângulo polar.
Nesse caso, a integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido.

Passo 9

A mudança no ângulo theta(2,1) - theta(1,0) = arctan(12) - 0 = arctan(12) ao mover de para pode ser calculada diretamente. No ponto , , e no ponto , .
Então, a integral é simplesmente a diferença desses ângulos:

Resposta

A integral ao longo da parábola vale .

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