Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números , tais que .
;

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo . Além disso, precisamos encontrar todos os números dentro desse intervalo onde a derivada de é zero, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle e quais são suas hipóteses, além de saber como calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Rolle. Ele diz que se uma função for contínua no intervalo fechado , derivável no intervalo aberto , e se , então existe pelo menos um número tal que .
Então, precisamos verificar três coisas para aplicar o teorema:
  1. Continuidade no intervalo .
  2. Derivabilidade no intervalo .
  3. .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Continuidade no intervalo :
A função é uma função racional, ou seja, o quociente de dois polinômios. Funções racionais são contínuas em todo lugar onde o denominador não é zero.
Vamos verificar se o denominador é diferente de zero no intervalo :
Como , que está fora do nosso intervalo , o denominador nunca é zero nesse intervalo. Portanto, a função é contínua em .

Passo 4

2. Derivabilidade no intervalo :
Como a função é contínua no intervalo e o denominador nunca é zero nesse intervalo, a função é diferenciável no intervalo aberto .

Passo 5

3. Igualdade dos valores nos extremos do intervalo: :
Vamos calcular e .
Primeiro, :
Agora, :
Portanto, .

Passo 6

Agora que verificamos todas as hipóteses do Teorema de Rolle:
  1. Contínua em .
  2. Derivável em .
  3. .
Podemos concluir que, pelo Teorema de Rolle, existe pelo menos um número tal que .

Passo 7

Agora, vamos encontrar todos os números no intervalo onde .
Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Usaremos a regra do quociente para derivar :
Vamos simplificar o numerador:
Portanto,

Passo 8

Queremos encontrar os valores de onde :
A fração será zero quando o numerador for zero, já que o denominador nunca é zero no nosso intervalo.
Então, resolvemos:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Agora, vamos calcular os valores numéricos:

Resposta

Dentro do intervalo , o único valor de que satisfaz é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de segunda ordem de .
Mostre que as seguintes funçōes nāo possuem pontos críticos:
.
Reescreva os radicais com o menor índice possível
Considere o campo vetorial .
(a) Calcule ao longo da parábola .