Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números
, tais que
.
;
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo
. Além disso, precisamos encontrar todos os números
dentro desse intervalo onde a derivada de
é zero, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle e quais são suas hipóteses, além de saber como calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Rolle. Ele diz que se uma função
for contínua no intervalo fechado
, derivável no intervalo aberto
, e se
, então existe pelo menos um número
tal que
.
Então, precisamos verificar três coisas para aplicar o teorema:
- Continuidade no intervalo
. - Derivabilidade no intervalo
. -
.
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Continuidade no intervalo
:
A função
é uma função racional, ou seja, o quociente de dois polinômios. Funções racionais são contínuas em todo lugar onde o denominador não é zero.
Vamos verificar se o denominador
é diferente de zero no intervalo
:
Como
, que está fora do nosso intervalo
, o denominador nunca é zero nesse intervalo. Portanto, a função
é contínua em
.
Passo 4
2. Derivabilidade no intervalo
:
Como a função
é contínua no intervalo
e o denominador
nunca é zero nesse intervalo, a função é diferenciável no intervalo aberto
.
Passo 5
3. Igualdade dos valores nos extremos do intervalo:
:
Vamos calcular
e
.
Primeiro,
:
Agora,
:
Portanto,
.
Passo 6
Agora que verificamos todas as hipóteses do Teorema de Rolle:
- Contínua em
. - Derivável em
. -
.
Podemos concluir que, pelo Teorema de Rolle, existe pelo menos um número
tal que
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar todos os números
no intervalo
onde
.
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Usaremos a regra do quociente para derivar
:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto,
Passo 8
Queremos encontrar os valores de
onde
:
A fração será zero quando o numerador for zero, já que o denominador nunca é zero no nosso intervalo.
Então, resolvemos:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Resposta
Dentro do intervalo
, o único valor de
que satisfaz
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de segunda ordem de
.
Mostre que as seguintes funçōes nāo possuem pontos críticos:
.
Reescreva os radicais com o menor índice possível
Considere o campo vetorial
.
(a) Calcule ao longo da parábola
.
(a) Calcule