Considere o campo vetorial
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2)
Calcule ointC F cdot d r, onde C é qualquer curva fechada simples orientada no sentido horário que envolve a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um campo vetorial dado por
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2)
A tarefa é calcular a integral de linha ointC F cdot dr, onde C é uma curva fechada simples que envolve a origem e está orientada no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o quanto o campo vetorial F “circula” ao longo da curva C. A expressão F cdot dr representa o produto escalar entre o campo vetorial e um elemento infinitesimal da curva.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O teorema diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy,
onde F = (P, Q) e D é a região interior a C.

Passo 4

Identificando P e Q no nosso campo vetorial:
P = -yx^2+y^2, Q = xx^2+y^2
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = (x^2+y^2) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2,
partial Ppartial y = -(x^2+y^2) + y(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2 (x^2+y^2)^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 - -x^2 + y^2 (x^2+y^2)^2 = 2(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 6

No entanto, percebemos que a função F tem uma singularidade na origem (quando x = 0 e y = 0), o que significa que não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green. Nesse caso, analisamos o comportamento do campo vetorial ao redor da origem.

Passo 7

Observamos que o campo vetorial F é equivalente ao campo angular, que tem uma circulação conhecida ao redor da origem. A integral de linha de um campo angular ao redor de uma curva que envolve a origem é igual a -2pi vezes o número de voltas que a curva dá no sentido horário.

Passo 8

Como a curva C está orientada no sentido horário e envolve uma única volta ao redor da origem, a integral de linha será:
ointC F cdot dr = -2pi

Resposta

A integral de linha é igual a -2pi.

Exercícios relacionados