Considere o campo vetorial
Calcule , onde é qualquer curva fechada simples orientada no sentido horário que envolve a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um campo vetorial dado por
A tarefa é calcular a integral de linha , onde é uma curva fechada simples que envolve a origem e está orientada no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o quanto o campo vetorial “circula” ao longo da curva . A expressão representa o produto escalar entre o campo vetorial e um elemento infinitesimal da curva.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O teorema diz que:
onde e é a região interior a .

Passo 4

Identificando e no nosso campo vetorial:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 6

No entanto, percebemos que a função tem uma singularidade na origem (quando e ), o que significa que não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green. Nesse caso, analisamos o comportamento do campo vetorial ao redor da origem.

Passo 7

Observamos que o campo vetorial é equivalente ao campo angular, que tem uma circulação conhecida ao redor da origem. A integral de linha de um campo angular ao redor de uma curva que envolve a origem é igual a vezes o número de voltas que a curva dá no sentido horário.

Passo 8

Como a curva está orientada no sentido horário e envolve uma única volta ao redor da origem, a integral de linha será:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Seja um campo vetorial. Utilize o item © para mostrar que não é conservativo.
Determine as derivadas parciais indicadas.
39.
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices , orientado no sentido horário.
Suponha que seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Explique por que se é orientada no sentido anti-horário, então