Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é qualquer curva fechada simples orientada no sentido horário que envolve a origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um campo vetorial dado por
A tarefa é calcular a integral de linha
, onde
é uma curva fechada simples que envolve a origem e está orientada no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o quanto o campo vetorial
“circula” ao longo da curva
. A expressão
representa o produto escalar entre o campo vetorial e um elemento infinitesimal da curva.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O teorema diz que:
onde
e
é a região interior a
.
Passo 4
Identificando
e
no nosso campo vetorial:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
No entanto, percebemos que a função
tem uma singularidade na origem (quando
e
), o que significa que não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green. Nesse caso, analisamos o comportamento do campo vetorial ao redor da origem.
Passo 7
Observamos que o campo vetorial
é equivalente ao campo angular, que tem uma circulação conhecida ao redor da origem. A integral de linha de um campo angular ao redor de uma curva que envolve a origem é igual a
vezes o número de voltas que a curva dá no sentido horário.
Passo 8
Como a curva
está orientada no sentido horário e envolve uma única volta ao redor da origem, a integral de linha será:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
um campo vetorial. Utilize o item © para mostrar que
não é conservativo.
Determine as derivadas parciais indicadas.
39.
39.
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices
, orientado no sentido horário.
Suponha que
seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Explique por que se
é orientada no sentido anti-horário, então