Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices
, orientado no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de um triângulo com vértices em
,
e
, percorrido no sentido horário.
Conteúdo envolvido: Cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e trabalho feito por campos vetoriais.
O que vamos precisar:
- Entender como calcular o trabalho através de integrais de linha.
- Saber parametrizar cada aresta do triângulo.
- Calcular a integral de
em cada segmento e somar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho
é dado pela integral de linha do campo
ao longo do caminho
:
Aqui,
e
é o contorno do triângulo orientado no sentido horário.
Passo 3
Para calcular essa integral, vamos dividir o triângulo em seus três lados:
,
e
. Em seguida, vamos parametrizar cada segmento e calcular a integral em cada um deles.
Parametrização de cada segmento:
- Segmento
: de a - Segmento
: de a - Segmento
: de a
Passo 4
Vamos começar parametrizando o primeiro segmento,
.
Parametrização de
:
Como é constante em
(
), podemos expressar
como uma função do parâmetro
, onde
varia de
a
:
Como
O diferencial
é então:
Passo 5
Agora, avaliamos o campo
ao longo de
:
Calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Integrando sobre
:
A integral de
não tem solução elementar, mas como estamos somando os três lados, pode ser mais fácil aplicar o Teorema de Green.
Passo 7
Teorema de Green: Para um campo vetorial
e uma curva fechada
no sentido positivo (anti-horário):
No nosso caso, a curva está no sentido horário, então precisamos trocar o sinal:
Isso simplifica o cálculo, evitando integrar cada segmento individualmente.
Passo 8
Primeiro, identifiquemos
e
:
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Então,
Passo 9
Agora, precisamos identificar a região
delimitada pelo triângulo com vértices em
,
e
.
Vamos descrever os limites de integração:
-
varia de a - Para cada
, varia de uma linha até outra. A linha de a é (passando por e ), e a linha de a é (passando por e ).
Então, para cada
:
Passo 10
Agora, aplicamos o Teorema de Green:
Vamos integrar primeiro em
e depois em
:
Passo 11
Calculando a integral interna em
:
Primeiro:
E depois:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 12
Agora, integramos em
:
Calculando cada parte:
Somando os resultados:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo do triângulo é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é qualquer curva fechada simples orientada no sentido horário que envolve a origem.
Seja
um campo vetorial. Utilize o item © para mostrar que
não é conservativo.
Suponha que
seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Explique por que se
é orientada no sentido anti-horário, então
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária
que liga o ponto
ao ponto
.