Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices , orientado no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um triângulo com vértices em , e , percorrido no sentido horário.
Conteúdo envolvido: Cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e trabalho feito por campos vetoriais.
O que vamos precisar:
  • Entender como calcular o trabalho através de integrais de linha.
  • Saber parametrizar cada aresta do triângulo.
  • Calcular a integral de em cada segmento e somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho é dado pela integral de linha do campo ao longo do caminho :
Aqui, e é o contorno do triângulo orientado no sentido horário.

Passo 3

Para calcular essa integral, vamos dividir o triângulo em seus três lados: , e . Em seguida, vamos parametrizar cada segmento e calcular a integral em cada um deles.
Parametrização de cada segmento:
  • Segmento : de a
  • Segmento : de a
  • Segmento : de a

Passo 4

Vamos começar parametrizando o primeiro segmento, .
Parametrização de :
Como é constante em ( ), podemos expressar como uma função do parâmetro , onde varia de a :
O diferencial é então:

Passo 5

Agora, avaliamos o campo ao longo de :
Calculamos o produto escalar :

Passo 6

Integrando sobre :
A integral de não tem solução elementar, mas como estamos somando os três lados, pode ser mais fácil aplicar o Teorema de Green.

Passo 7

Teorema de Green: Para um campo vetorial e uma curva fechada no sentido positivo (anti-horário):
No nosso caso, a curva está no sentido horário, então precisamos trocar o sinal:
Isso simplifica o cálculo, evitando integrar cada segmento individualmente.

Passo 8

Primeiro, identifiquemos e :
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Então,

Passo 9

Agora, precisamos identificar a região delimitada pelo triângulo com vértices em , e .
Vamos descrever os limites de integração:
  • varia de a
  • Para cada , varia de uma linha até outra. A linha de a é (passando por e ), e a linha de a é (passando por e ).
Então, para cada :

Passo 10

Agora, aplicamos o Teorema de Green:
Vamos integrar primeiro em e depois em :

Passo 11

Calculando a integral interna em :
Primeiro:
E depois:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 12

Agora, integramos em :
Calculando cada parte:
Somando os resultados:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo do triângulo é unidades de trabalho.

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