Seja
um campo vetorial. Utilize o item © para mostrar que
não é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial
. O objetivo é mostrar que esse campo não é conservativo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente, vamos verificar se o campo possui rotacional diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função
tal que
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (ou curl) do campo é igual a zero. Portanto, se conseguirmos calcular o rotacional de
e ele não for zero, podemos concluir que
não é conservativo.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Onde
.
Passo 4
Vamos identificar cada componente de
:
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 5
Agora, juntando tudo, o rotacional de
fica:
Passo 6
Observamos que o rotacional de
não é o vetor nulo. Para um campo ser conservativo, o rotacional precisa ser zero em todo o domínio. Como aqui temos componentes diferentes de zero, concluímos que:
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, pois seu rotacional é diferente de zero.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais indicadas.
39.
39.
Seja
um campo vetorial. Mostre que se
for um campo conservativo, então
;
Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é qualquer curva fechada simples orientada no sentido horário que envolve a origem.
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices
, orientado no sentido horário.