Seja um campo vetorial. Utilize o item © para mostrar que não é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial . O objetivo é mostrar que esse campo não é conservativo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente, vamos verificar se o campo possui rotacional diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função tal que . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (ou curl) do campo é igual a zero. Portanto, se conseguirmos calcular o rotacional de e ele não for zero, podemos concluir que não é conservativo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de . A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Onde .

Passo 4

Vamos identificar cada componente de :
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 5

Agora, juntando tudo, o rotacional de fica:

Passo 6

Observamos que o rotacional de não é o vetor nulo. Para um campo ser conservativo, o rotacional precisa ser zero em todo o domínio. Como aqui temos componentes diferentes de zero, concluímos que:

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, pois seu rotacional é diferente de zero.

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Determine as derivadas parciais indicadas.
39.
Seja um campo vetorial. Mostre que se for um campo conservativo, então ;
Considere o campo vetorial
Calcule , onde é qualquer curva fechada simples orientada no sentido horário que envolve a origem.
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices , orientado no sentido horário.