Determine as derivadas parciais indicadas.
39. f(x, y) = ln(x) + raiz(x^2 + y^2), f_x(3, 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a derivada parcial de em relação a no ponto . A função dada é . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar algumas regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de em relação a , denotada por , é a taxa de variação de quando varia, mantendo constante. Então, vamos derivar cada termo da função em relação a .

Passo 3

O primeiro termo é . A derivada de em relação a é . Então, .

Passo 4

O segundo termo é . Para derivar isso em relação a , usamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos a raiz quadrada:

Passo 5

Agora, derivamos em relação a . Como é constante, a derivada de é zero, então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 7

Agora, juntamos as duas derivadas parciais que calculamos:

Passo 8

Finalmente, substituímos e na expressão de :

Resposta

A derivada parcial é .

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