Determine as derivadas parciais indicadas.
39.
39.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A função dada é
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar algumas regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é a taxa de variação de
quando
varia, mantendo
constante. Então, vamos derivar cada termo da função
em relação a
.
Passo 3
O primeiro termo é
. A derivada de
em relação a
é
. Então,
.
Passo 4
O segundo termo é
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos a raiz quadrada:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
. Como
é constante, a derivada de
é zero, então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 7
Agora, juntamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Passo 8
Finalmente, substituímos
e
na expressão de
:
Resposta
A derivada parcial
é
.
Exercícios relacionados
Seja
um campo vetorial. Mostre que se
for um campo conservativo, então
;
Seja
um campo vetorial. Defina o divergente e o rotacional de
;
Seja
um campo vetorial. Utilize o item © para mostrar que
não é conservativo.
Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é qualquer curva fechada simples orientada no sentido horário que envolve a origem.