Suponha que
seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Explique por que se
é orientada no sentido anti-horário, então
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva
que é simples, ou seja, não se cruza, e está fechada ao redor do círculo
definido por
. A curva
está orientada no sentido anti-horário. A pergunta é para explicar por que a integral de linha
é igual a
. Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral de linha. A integral
é uma integral que percorre a curva
e soma infinitesimais valores da função dada ao longo da curva. Para resolver, precisamos reconhecer que essa expressão está relacionada à derivada de um ângulo polar.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Nessa configuração, podemos reescrever o numerador
:
Simplificando, os termos com
se cancelam e sobra:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral:
Aqui,
, então simplificamos
.
Passo 5
A integral
representa a soma total das variações angulares ao percorrer a curva
. Como
é orientada no sentido anti-horário e envolve o círculo
exatamente uma vez, a variação total do ângulo
é
.
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices
, orientado no sentido horário.
Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é qualquer curva fechada simples orientada no sentido horário que envolve a origem.
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária
que liga o ponto
ao ponto
.
Considere a integral de linha
.
a) Calcule esta integral, onde é o segmento de linha de
a
a) Calcule esta integral, onde