Suponha que C seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Ca=(x, y) mid x^2+y^2=a^2
Explique por que se C é orientada no sentido anti-horário, então
ointC x d y-y d xx^2+y^2=2 pi

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva ointC x , dy - y , dxx^2 + y^2 = 2pi que é simples, ou seja, não se cruza, e está fechada ao redor do círculo definido por . A curva está orientada no sentido anti-horário. A pergunta é para explicar por que a integral de linha
é igual a . Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral de linha. A integral
ointC x , dy - y , dxx^2 + y^2
é uma integral que percorre a curva e soma infinitesimais valores da função dada ao longo da curva. Para resolver, precisamos reconhecer que essa expressão está relacionada à derivada de um ângulo polar.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares, onde x , dy - y , dx = r costheta cdot (dr sintheta + r costheta , dtheta) - r sintheta cdot (dr costheta - r sintheta , dtheta) e x , dy - y , dx = r^2 dtheta . Nessa configuração, podemos reescrever o numerador :
Simplificando, os termos com se cancelam e sobra:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
ointC x , dy - y , dxx^2 + y^2 = ointC r^2 dthetar^2 = ointC dtheta
Aqui, , então simplificamos .

Passo 5

A integral representa a soma total das variações angulares ao percorrer a curva . Como é orientada no sentido anti-horário e envolve o círculo exatamente uma vez, a variação total do ângulo é .

Resposta

Portanto,
ointC x , dy - y , dxx^2 + y^2 = 2pi

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