Suponha que seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Explique por que se é orientada no sentido anti-horário, então

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva que é simples, ou seja, não se cruza, e está fechada ao redor do círculo definido por . A curva está orientada no sentido anti-horário. A pergunta é para explicar por que a integral de linha
é igual a . Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral de linha. A integral
é uma integral que percorre a curva e soma infinitesimais valores da função dada ao longo da curva. Para resolver, precisamos reconhecer que essa expressão está relacionada à derivada de um ângulo polar.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nessa configuração, podemos reescrever o numerador :
Simplificando, os termos com se cancelam e sobra:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
Aqui, , então simplificamos .

Passo 5

A integral representa a soma total das variações angulares ao percorrer a curva . Como é orientada no sentido anti-horário e envolve o círculo exatamente uma vez, a variação total do ângulo é .

Resposta

Portanto,

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Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices , orientado no sentido horário.
Considere o campo vetorial
Calcule , onde é qualquer curva fechada simples orientada no sentido horário que envolve a origem.
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária que liga o ponto ao ponto .
Considere a integral de linha .
a) Calcule esta integral, onde é o segmento de linha de a