Considere as superfícies:
A parte da esfera
com
O cilindro elíptico
com
;
: A parte da sela
que está dentro do cilindro
;
: A parte do plano
que está no primeiro octante
;
© Determine a equação do plano tangente à
(sela) no ponto
.
© Determine a equação do plano tangente à
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície
, que é a parte da sela definida por
, no ponto específico
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto
está mesmo na superfície
. Substituindo os valores de
,
e
na equação da sela:
Como o resultado é
, o ponto está na superfície. Se não estivesse, não poderíamos continuar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função que define a superfície. A equação da sela pode ser rearranjada para
. Vamos chamar isso de função
. As derivadas parciais são:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
Essas derivadas nos dizem como a função muda quando variamos
ou
individualmente.
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto dado
:
Esses valores serão usados na equação do plano tangente.
Passo 5
A fórmula geral do plano tangente em um ponto
para uma função
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar isso:
Resposta
A equação do plano tangente à
no ponto
é:
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Considere o campo vetorial
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo
é conservativo;
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
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