Considere as superfícies:
S1: A parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 com y <= 0
S2: O cilindro elíptico x^2 + 4y^2 = 1 com z em R;
S3 : A parte da sela z - x^2 + y^2 = 0 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9;
S4 : A parte do plano 2 x + y + z = 2 que está no primeiro octante (x, y, z ≥ 0);
© Determine a equação do plano tangente à S3 (sela) no ponto 2, 1, 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície S3, que é a parte da sela definida por , no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto está mesmo na superfície S3. Substituindo os valores de x, y e z na equação da sela:
Como o resultado é 0, o ponto está na superfície. Se não estivesse, não poderíamos continuar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função que define a superfície. A equação da sela pode ser rearranjada para . Vamos chamar isso de função . As derivadas parciais são:
  • Derivada parcial em relação a x:
  • Derivada parcial em relação a y:
Essas derivadas nos dizem como a função muda quando variamos x ou y individualmente.

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
Esses valores serão usados na equação do plano tangente.

Passo 5

A fórmula geral do plano tangente em um ponto para uma função é:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar isso:

Resposta

A equação do plano tangente à S3 no ponto é:

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Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo F é conservativo;
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y' - 3y = sen(x)
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
c y' + y cos(x) = x^2
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
d y' - 5 y = e^(2 x) + cos(x)