Considere o campo vetorial
(d) Calcule o trabalho realizado por
para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos
a
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
quando uma partícula se movimenta do ponto
até
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
, ou seja,
. Isso significa que o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as suas derivadas parciais misturadas são iguais. Ou seja, para todos os componentes de
, deve valer:
Vamos calcular:
Como
, a primeira condição é satisfeita.
Também igual, então a segunda condição está ok.
Mais igual! Portanto, todas as condições estão atendidas e o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que
. Isso facilita bastante, pois o trabalho será simplesmente
no ponto final menos
no ponto inicial.
Para encontrar
, vamos integrar cada componente:
- Começamos com
. Integramos em relação a :
Aqui,
é uma função que depende só de
e
.
- Agora, derivamos
em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende só de
.
- Por fim, derivamos
em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante. Podemos ignorar
pois ele se cancela na diferença.
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Agora que temos a função potencial
, podemos calcular o trabalho realizado usando:
Vamos calcular cada valor:
-
:
-
:
Então:
Resposta
O trabalho realizado é
unidades de trabalho.
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Considere as superfícies:
A parte da esfera
com
O cilindro elíptico
com
;
: A parte da sela
que está dentro do cilindro
;
: A parte do plano
que está no primeiro octante
;
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;