Resolver as equações de Bernoulli:
c y' + 1/x y = 2 y^(1/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, a equação é:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar um método de substituição que transforma a equação não linear em uma linear, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os termos da nossa equação de Bernoulli:
A ideia é fazer uma substituição para tornar a equação linear. Definimos:

Passo 3

Agora, precisamos derivar em relação a :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Substituímos na equação original:
Lembre-se que , então . Substituindo isso na equação:

Passo 5

Dividimos toda a equação por para simplificar:
Então, a equação fica:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
onde e .

Passo 6

Vamos achar o fator integrante , que é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial por :
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que , elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(d) Calcule o trabalho realizado por F para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos (1, 0, 0) a (1, 1, 1).
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
e y' + 1/x y = ln(x)
Considere as superfícies:
S1: A parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 com y <= 0
S2: O cilindro elíptico x^2 + 4y^2 = 1 com z em R;
S3 : A parte da sela z - x^2 + y^2 = 0 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9;
S4 : A parte do plano 2 x + y + z = 2 que está no primeiro octante (x, y, z ≥ 0);
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
Resolver as equações de Bernoulli:
d y'/d x + 3 y = 5 y^4