Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
e y' + 1/x y = ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Isso envolve encontrar uma função que, quando multiplicada pela equação original, torne a equação mais fácil de resolver. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. Ela está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Então, calculamos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Agora, a equação está na forma:
Que no nosso caso fica:

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente .

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral do lado direito . Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula :

Passo 8

Voltando à nossa equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
d y' - 5 y = e^(2 x) + cos(x)
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
c y' + y cos(x) = x^2
Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(d) Calcule o trabalho realizado por F para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos (1, 0, 0) a (1, 1, 1).
Resolver as equações de Bernoulli:
c y' + 1/x y = 2 y^(1/2)