Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Isso envolve encontrar uma função que, quando multiplicada pela equação original, torne a equação mais fácil de resolver. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. Ela está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. A fórmula para o fator integrante é:
Então, calculamos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a equação está na forma:
Que no nosso caso fica:
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
.
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral do lado direito
. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula
:
Passo 8
Voltando à nossa equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Considere o campo vetorial
(d) Calcule o trabalho realizado por
para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos
a
.
Resolver as equações de Bernoulli: