Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo:
Temos a equação diferencial linear de primeira ordem:
Vamos resolver essa equação utilizando o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Identificamos a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Comparando com a equação dada:
Podemos ver que:
Passo 3
Calculamos o fator integrante, que é dado por:
Esse fator será usado para multiplicar toda a equação e facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Isso porque:
Portanto, podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos as integrais:
- Para
:
- Para
:
Usamos a fórmula de integração para
:
Aplicando com
e
:
Passo 8
Substituímos as integrais na equação:
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Considere as superfícies:
A parte da esfera
com
O cilindro elíptico
com
;
: A parte da sela
que está dentro do cilindro
;
: A parte do plano
que está no primeiro octante
;
© Determine a equação do plano tangente à (sela) no ponto
.
© Determine a equação do plano tangente à
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Considere o campo vetorial
(d) Calcule o trabalho realizado por
para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos
a
.