Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
d y' - 5 y = e^(2 x) + cos(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo:
Temos a equação diferencial linear de primeira ordem:
Vamos resolver essa equação utilizando o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Identificamos a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Comparando com a equação dada:
Podemos ver que:

Passo 3

Calculamos o fator integrante, que é dado por:
Esse fator será usado para multiplicar toda a equação e facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Isso porque:
Portanto, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos as integrais:
  1. Para :
  1. Para :
Usamos a fórmula de integração para :
Aplicando com e :

Passo 8

Substituímos as integrais na equação:

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por para isolar y:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
c y' + y cos(x) = x^2
Considere as superfícies:
S1: A parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 com y <= 0
S2: O cilindro elíptico x^2 + 4y^2 = 1 com z em R;
S3 : A parte da sela z - x^2 + y^2 = 0 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9;
S4 : A parte do plano 2 x + y + z = 2 que está no primeiro octante (x, y, z ≥ 0);
© Determine a equação do plano tangente à S3 (sela) no ponto 2, 1, 3.
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
e y' + 1/x y = ln(x)
Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(d) Calcule o trabalho realizado por F para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos (1, 0, 0) a (1, 1, 1).