Considere a seguinte função:
Para quais valores de
a função assume valores negativos? E positivos? E iguais a zero?
Passo 1
Vamos lá! Temos a função
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
essa função é negativa, positiva ou igual a zero. Para isso, vamos precisar entender onde a função está definida e analisar os sinais do numerador e do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida.
-
Numerador:
- A raiz quadrada exige que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero:
- Então,
- A raiz quadrada exige que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero:
-
Denominador:
- O denominador não pode ser zero:
- Vamos resolver a equação
: - As soluções são
e
- As soluções são
- Então,
e
- O denominador não pode ser zero:
Resumo do Domínio:
exceto
e
Passo 3
Agora, vamos descobrir quando a função é igual a zero. Isso acontece quando o numerador é zero e o denominador não é zero.
- Resolvendo
: - Verificando no denominador: para
,
Conclusão: A função
é igual a zero quando
Passo 4
Vamos analisar os sinais do numerador e do denominador para determinar onde a função é positiva ou negativa.
-
Numerador:
- Sempre não negativo (
), pois é uma raiz quadrada.
- Sempre não negativo (
-
Denominador:
-
Vamos identificar os intervalos onde é positivo ou negativo. As raízes são
e , dividindo a reta numérica em três intervalos: -
-
Testando valores:
- Para
(intervalo ): - Para
(intervalo ): - Para
(intervalo ):
- Para
-
Resumo dos Sinais:
- Positivo quando
ou - Negativo quando
Passo 5
Agora, combinando as informações dos sinais com o domínio da função:
-
Positiva:
- Quando o denominador é positivo e o numerador é não negativo.
- Intervalos:
e
-
Negativa:
- Quando o denominador é negativo e o numerador é não negativo.
- Intervalo:
-
Igual a zero:
- Apenas em
- Apenas em
Resposta
A função
é:
- Positiva para
e , - Negativa para
, - Igual a zero quando
.