Considere a seguinte função:
f(x) = raiz(x + 4) / (x^2 - x - 2)
Para quais valores de x a função assume valores negativos? E positivos? E iguais a zero?

Passo 1

Vamos lá! Temos a função . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa função é negativa, positiva ou igual a zero. Para isso, vamos precisar entender onde a função está definida e analisar os sinais do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida.
  1. Numerador:
    • A raiz quadrada exige que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero:
    • Então,
  2. Denominador:
    • O denominador não pode ser zero:
    • Vamos resolver a equação :
      • As soluções são e
    • Então, e
Resumo do Domínio: exceto e

Passo 3

Agora, vamos descobrir quando a função é igual a zero. Isso acontece quando o numerador é zero e o denominador não é zero.
  • Resolvendo :
  • Verificando no denominador: para ,
Conclusão: A função é igual a zero quando

Passo 4

Vamos analisar os sinais do numerador e do denominador para determinar onde a função é positiva ou negativa.
  1. Numerador:
    • Sempre não negativo ( ), pois é uma raiz quadrada.
  2. Denominador:
    • Vamos identificar os intervalos onde é positivo ou negativo. As raízes são e , dividindo a reta numérica em três intervalos:
    • Testando valores:
      • Para (intervalo ):
      • Para (intervalo ):
      • Para (intervalo ):
Resumo dos Sinais:
  • Positivo quando ou
  • Negativo quando

Passo 5

Agora, combinando as informações dos sinais com o domínio da função:
  • Positiva:
    • Quando o denominador é positivo e o numerador é não negativo.
    • Intervalos: e
  • Negativa:
    • Quando o denominador é negativo e o numerador é não negativo.
    • Intervalo:
  • Igual a zero:
    • Apenas em

Resposta

A função é:
  • Positiva para e ,
  • Negativa para ,
  • Igual a zero quando .

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