Para quais valores de a função assume valores negativos? E positivos? E iguais a zero?
Passo 1
Vamos lá! Temos a função . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa função é negativa, positiva ou igual a zero. Para isso, vamos precisar entender onde a função está definida e analisar os sinais do numerador e do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida.
Numerador:
A raiz quadrada exige que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero:
Então,
Denominador:
O denominador não pode ser zero:
Vamos resolver a equação :
As soluções são e
Então, e
Resumo do Domínio: exceto e
Passo 3
Agora, vamos descobrir quando a função é igual a zero. Isso acontece quando o numerador é zero e o denominador não é zero.
Resolvendo :
Verificando no denominador: para ,
Conclusão: A função é igual a zero quando
Passo 4
Vamos analisar os sinais do numerador e do denominador para determinar onde a função é positiva ou negativa.
Numerador:
Sempre não negativo (), pois é uma raiz quadrada.
Denominador:
Vamos identificar os intervalos onde é positivo ou negativo. As raízes são e , dividindo a reta numérica em três intervalos:
Testando valores:
Para (intervalo ):
Para (intervalo ):
Para (intervalo ):
Resumo dos Sinais:
Positivo quando ou
Negativo quando
Passo 5
Agora, combinando as informações dos sinais com o domínio da função:
Positiva:
Quando o denominador é positivo e o numerador é não negativo.
Intervalos: e
Negativa:
Quando o denominador é negativo e o numerador é não negativo.