2,5 Considere o campo vetorial F(x, y, z) = 6xy^3 i + 9x^2y^2 j + (4z + 1) k
(b) Ache um potencial para o campo F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função potencial para esse campo vetorial. Isso significa achar uma função tal que a derivada dela em relação a , e nos dê exatamente os componentes de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o de campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se , então as componentes de são as derivadas parciais de . Ou seja:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 3

Começando pela primeira equação :
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende de e , já que a derivada em relação a a elimina.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação :
Sabemos que , então derivando em relação a :
Isso implica que:
Então, não depende de , apenas de . Ou seja, .

Passo 5

Finalmente, usamos a terceira equação :
Substituindo :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

Juntando tudo, a função potencial é:

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