(2,5) Considere o campo vetorial F(x, y, z)=6 x y^3 i+9 x^2 y^2 j+(4 z+1) K
© Calcule integralgamma F cdot d r onde oa curva gamma é dada por r(t)=cos t i+sen t j+(t+1) k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial integralgamma F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r,'(t) , dt ao longo de uma curva definida por para . Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular a integral de linha utilizando a fórmula:

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar r,'(t) = ddt [cos t,i + sin t,j + (t + 1),k] = -sin t,i + cos t,j + 1,k , que é a derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos F(r(t)) = 6 (cos t)(sin t)^3,i + 9 (cos t)^2 (sin t)^2,j + [4(t + 1) + 1],k = 6 cos t sin^3 t,i + 9 cos^2 t sin^2 t,j + (4t + 5),k na função para obter :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r,'(t) = [6 cos t sin^3 t] cdot [-sin t] + [9 cos^2 t sin^2 t] cdot [cos t] + [4t + 5] cdot [1] :
-6 cos t sin^4 t + 9 cos^3 t sin^2 t + (4t + 5)
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de linha:
integral0^pi ( -6 cos t sin^4 t + 9 cos^3 t sin^2 t + 4t + 5 ) , dt
Vamos separar essa integral em três partes para facilitar:
integral0^pi -6 cos t sin^4 t , dt + integral0^pi 9 cos^3 t sin^2 t , dt + integral0^pi (4t + 5) , dt

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Primeira integral:
-6 integral0^pi cos t sin^4 t , dt
Fazemos a substituição -6 integral0^0 u^4 , du = 0 , 9 integral0^pi cos^3 t sin^2 t , dt :
9 integral0^pi cos t sin^2 t , dt - 9 integral0^pi cos t sin^4 t , dt
(Os limites se anulam porque integral0^pi (4t + 5) , dt = 4 integral0^pi t , dt + 5 integral0^pi , dt e 4 [ t^22 ]0^pi + 5 [t]0^pi = 4 ( pi^22 - 0 ) + 5 (pi - 0) = 2pi^2 + 5pi ).
  1. Segunda integral:
Usamos a identidade :
Novamente, usando substituição , ambas as integrais se anulam, resultando em 0.
  1. Terceira integral:
Calculando:

Resposta

A integral de linha integralgamma F cdot dr = 2pi^2 + 5pi é igual a .

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