Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
(d) y y' + x = 3 x y^2, y(2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Aqui, nosso objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação que satisfaça a condição inicial . Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente de equações diferenciais de primeira ordem, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. Temos:
Vamos isolar o termo que envolve :

Passo 3

Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :
Isso ainda está um pouco complicado para resolver diretamente, então vamos tentar simplificar a equação.

Passo 4

Observamos que a equação pode ser reorganizada da seguinte maneira:
Para resolver essa equação, vamos tentar separar as variáveis e .

Passo 5

Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro:
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Agora, vamos simplificar o denominador do lado esquerdo:
Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Para a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .

Passo 8

Substituindo na integral:
Do lado direito, a integral de é:

Passo 9

Igualando as integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por 6 para simplificar:
Onde ainda é uma constante.

Passo 10

Para resolver para , exponenciamos ambos os lados da equação:
Podemos chamar , onde é uma constante positiva. Então:

Passo 11

Agora, resolvemos para :

Passo 12

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando por 3:
Subtraindo 1:
Então:

Passo 13

Finalmente, substituímos na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial é:

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