Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Aqui, nosso objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação que satisfaça a condição inicial
. Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente de equações diferenciais de primeira ordem, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. Temos:
Vamos isolar o termo que envolve
:
Passo 3
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Isso ainda está um pouco complicado para resolver diretamente, então vamos tentar simplificar a equação.
Passo 4
Observamos que a equação pode ser reorganizada da seguinte maneira:
Para resolver essa equação, vamos tentar separar as variáveis
e
.
Passo 5
Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o denominador do lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Para a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Do lado direito, a integral de
é:
Passo 9
Igualando as integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por 6 para simplificar:
Onde
ainda é uma constante.
Passo 10
Para resolver para
, exponenciamos ambos os lados da equação:
Podemos chamar
, onde
é uma constante positiva. Então:
Passo 11
Agora, resolvemos para
:
Passo 12
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando por 3:
Subtraindo 1:
Então:
Passo 13
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução particular que satisfaz a condição inicial é: