Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas y' para
  • y(x) = ((x^2 + 1) / (x^2 - 1))^3;
  • y(r) = r / raiz(r^2 + 1).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos duas funções para derivar usando a regra da cadeia:
Vamos precisar conhecer a regra da cadeia e também as regras básicas de derivação, como a derivada de uma potência e a derivada de uma função racional.

Passo 2

Começando com a primeira função: .
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é . Aqui, e .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar :

Passo 4

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a regra do quociente:

Passo 5

Simplificando a derivada de :

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Combinando as potências:

Passo 9

Portanto, a derivada da primeira função é:

Passo 10

Agora vamos para a segunda função: .
Aqui, podemos reescrever como para facilitar a aplicação da regra da cadeia e do produto.

Passo 11

Usamos a regra do produto para derivar . A derivada de um produto é .

Passo 12

Vamos derivar cada parte:
  • , então
  • , então usando a regra da cadeia:

Passo 13

Aplicando a regra do produto:

Passo 14

Simplificando a expressão:

Passo 15

Fatorando :

Passo 16

Simplificando dentro dos parênteses:

Resposta

As derivadas são:

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