Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
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Passo 1
Beleza, amigo! A gente tem uma equação diferencial aqui:
, com a condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a solução particular dessa equação que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais, especificamente a forma linear e o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la numa forma mais fácil de trabalhar. Queremos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos organizar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com nossa equação:
Aqui,
e
.
Passo 4
Para resolver essa equação, precisamos achar um fator integrante, que é uma função
que multiplica toda a equação e facilita a resolução. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular:
Passo 5
Vamos resolver a integral no expoente:
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
. Reescrevendo a integral:
Voltando para
:
Ignoramos a constante
para o fator integrante, então:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, simplesmente:
Passo 8
Vamos resolver a integral do lado direito. Fazendo substituição
, então
e
:
Separando:
Resolvendo:
Voltando para
:
Passo 9
Agora, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução particular é: