Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
© (1-x) y' = x(y+1), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, amigo! A gente tem uma equação diferencial aqui: , com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a solução particular dessa equação que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais, especificamente a forma linear e o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la numa forma mais fácil de trabalhar. Queremos isolar :
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, vamos organizar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com nossa equação:
Aqui, e .

Passo 4

Para resolver essa equação, precisamos achar um fator integrante, que é uma função mu(x) que multiplica toda a equação e facilita a resolução. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular:

Passo 5

Vamos resolver a integral no expoente:
Fazendo uma substituição simples, deixe , então . Reescrevendo a integral:
Voltando para x:
Ignoramos a constante C para o fator integrante, então:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
Do lado esquerdo, simplesmente:

Passo 8

Vamos resolver a integral do lado direito. Fazendo substituição , então e :
Separando:
Resolvendo:
Voltando para x:

Passo 9

Agora, temos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Aplicamos a condição inicial para encontrar C:

Resposta

A solução particular é:

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