Beleza, amigo! A gente tem uma equação diferencial aqui: , com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a solução particular dessa equação que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais, especificamente a forma linear e o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la numa forma mais fácil de trabalhar. Queremos isolar :
Dividindo ambos os lados por , temos:
Passo 3
Agora, vamos organizar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com nossa equação:
Aqui, e .
Passo 4
Para resolver essa equação, precisamos achar um fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação e facilita a resolução. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular:
Passo 5
Vamos resolver a integral no expoente:
Fazendo uma substituição simples, deixe , então . Reescrevendo a integral:
Voltando para :
Ignoramos a constante para o fator integrante, então:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, simplesmente:
Passo 8
Vamos resolver a integral do lado direito. Fazendo substituição , então e :