Determine se os campos abaixo são conservativos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de Campos Vetoriais Conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o rotacional (ou curl) do campo vetorial é igual a zero, o que é uma condição necessária para um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas componentes para o nosso campo .

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  1. Primeira componente do rotacional:
  1. Segunda componente do rotacional:
  1. Terceira componente do rotacional:

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional de são iguais a zero, temos que:
Isso indica que o campo é conservativo, assumindo que o domínio é simplesmente conexo.

Resposta

O campo vetorial é conservativo.

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Considere o campo vetorial . F é conservativo? Justifique. Caso seja, determine uma função potencial para o campo .