Considere o campo vetorial G=x i+y j+z k e uma superfície esférica S de raio R=2 metros centrada na origem. Usando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de G através da superfície S nos dois modos possíveis (dois lados do teorema da divergência).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e uma superfície esférica de raio metros, centrada na origem. A tarefa é calcular o fluxo de através de usando o Teorema de Gauss, e fazer isso dos dois lados do teorema da divergência. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo, o que é o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) e como aplicá-los nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial Fluxo = integral duplaS G cdot dA através de uma superfície mede quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Onde é um elemento de área de com direção normal à superfície.

Passo 3

Agora, o Teorema de Gauss nos ajuda a relacionar esse fluxo com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado pela superfície integral duplaS G cdot dA = integral triplaV (nabla cdot G) , dV . O teorema diz:
Ou seja, o fluxo através da superfície é igual à integral da divergência de sobre o volume dentro de .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de nabla cdot G = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z . A divergência de um campo vetorial P = x, Q = y, R = z é dada por:
nabla cdot G = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3
Para o nosso campo:
Então,

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Gauss:
Fluxo = integral triplaV 3 , dV = 3 times Volume da Esfera
Sabemos que o volume de uma esfera é:
V = 43 pi R^3
Como V = 43 pi (2)^3 = 323 pi , m^3 metros,
Fluxo = 3 times 323 pi = 32 pi , m^3
Portanto,

Passo 6

Agora, vamos calcular o fluxo diretamente pela definição, para confirmar o resultado usando o “outro lado” do Teorema de Gauss.
Em coordenadas esféricas, o vetor área dA = R^2 sintheta , dtheta , dphi , r para uma esfera é:
G = r r
E o campo G cdot dA = 2 r cdot (4 sintheta , dtheta , dphi , r) = 8 sintheta , dtheta , dphi em coordenadas esféricas é:
Fluxo = integral0^2pi integral0^pi 8 sintheta , dtheta , dphi = 8 times 2pi times 2 = 32 pi , m^3
Como metros, temos .
Então,
Integrando sobre toda a superfície da esfera:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície esférica é metros cúbicos.

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