Considere o campo vetorial
e uma superfície esférica
de raio
metros centrada na origem. Usando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de
através da superfície
nos dois modos possíveis (dois lados do teorema da divergência).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma superfície esférica
de raio
metros, centrada na origem. A tarefa é calcular o fluxo de
através de
usando o Teorema de Gauss, e fazer isso dos dois lados do teorema da divergência. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo, o que é o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) e como aplicá-los nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Onde
é um elemento de área de
com direção normal à superfície.
Passo 3
Agora, o Teorema de Gauss nos ajuda a relacionar esse fluxo com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado pela superfície
. O teorema diz:
Ou seja, o fluxo através da superfície
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
dentro de
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para o nosso campo:
Então,
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Gauss:
Sabemos que o volume de uma esfera é:
Como
metros,
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos calcular o fluxo diretamente pela definição, para confirmar o resultado usando o “outro lado” do Teorema de Gauss.
Em coordenadas esféricas, o vetor área
para uma esfera é:
E o campo
em coordenadas esféricas é:
Como
metros, temos
.
Então,
Integrando sobre toda a superfície da esfera:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície esférica
é
metros cúbicos.