Dado o campo vetorial G=r r+z k em coordenadas cilíndricas, calcule o rotacional nabla times G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o rotacional do campo vetorial G=r r+z k usando coordenadas cilíndricas. Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, mais especificamente no estudo de campos vetoriais e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas e entender o que cada componente do campo representa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas. A fórmula do rotacional nabla times G em coordenadas cilíndricas (r, theta, z) é dada por:
nabla times G = ( 1r ( partial Gzpartial theta - partial Gthetapartial z ) ) r + ( partial Grpartial z - partial Gzpartial r ) theta + ( 1r ( partial (r Gtheta)partial r - partial Grpartial theta ) ) k
Aqui, Gr, Gtheta, e Gz são as componentes do campo vetorial G nas direções r, theta e k, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial G=r r+z k. Comparando com a notação geral, temos:
  • Gr = r
  • Gtheta = 0 (porque não há componente na direção theta)
  • Gz = z

Passo 4

Com as componentes identificadas, vamos substituir na fórmula do rotacional:
nabla times G = ( 1r ( partial zpartial theta - partial 0partial z ) ) r + ( partial rpartial z - partial zpartial r ) theta + ( 1r ( partial (0)partial r - partial rpartial theta ) ) k

Passo 5

Vamos calcular cada derivada:
  1. partial zpartial theta = 0 (porque z não depende de theta)
  2. partial 0partial z = 0
  3. partial rpartial z = 0 (porque r não depende de z)
  4. partial zpartial r = 0 (porque z não depende de r)
  5. partial 0partial r = 0
  6. partial rpartial theta = 0 (porque r não depende de theta)
Substituindo esses valores na expressão:
nabla times G = ( 1r (0 - 0) ) r + (0 - 0) theta + ( 1r (0 - 0) ) k = 0 r + 0 theta + 0 k

Passo 6

Como todas as componentes resultaram em zero, o rotacional do campo vetorial G é o vetor nulo.

Resposta

O rotacional de G é nabla times G = 0.

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