Dado o campo vetorial em coordenadas cilíndricas, calcule o rotacional .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o rotacional do campo vetorial usando coordenadas cilíndricas. Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, mais especificamente no estudo de campos vetoriais e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas e entender o que cada componente do campo representa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas. A fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas é dada por:
Aqui, , , e são as componentes do campo vetorial nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial . Comparando com a notação geral, temos:
  • (porque não há componente na direção )

Passo 4

Com as componentes identificadas, vamos substituir na fórmula do rotacional:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada:
  1. (porque não depende de )
  2. (porque não depende de )
  3. (porque não depende de )
  4. (porque não depende de )
Substituindo esses valores na expressão:

Passo 6

Como todas as componentes resultaram em zero, o rotacional do campo vetorial é o vetor nulo.

Resposta

O rotacional de é .

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