Dado o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas, calcule o rotacional
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o rotacional do campo vetorial
usando coordenadas cilíndricas. Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, mais especificamente no estudo de campos vetoriais e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas e entender o que cada componente do campo representa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas. A fórmula do rotacional
em coordenadas cilíndricas
é dada por:
Aqui,
,
, e
são as componentes do campo vetorial
nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial
. Comparando com a notação geral, temos:
-
-
(porque não há componente na direção ) -
Passo 4
Com as componentes identificadas, vamos substituir na fórmula do rotacional:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada:
-
(porque não depende de ) -
-
(porque não depende de ) -
(porque não depende de ) -
-
(porque não depende de )
Substituindo esses valores na expressão:
Passo 6
Como todas as componentes resultaram em zero, o rotacional do campo vetorial
é o vetor nulo.
Resposta
O rotacional de
é
.
Exercícios relacionados
Uma superfície cilíndrica é definida por
. Com base nessas informações, resolva:
a - Determine o elemento de área da superfície lateral do cilindro.
a - Determine o elemento de área
Considere um ponto
representado em coordenadas esféricas por
, onde
e
.
a - Converta as coordenadas esféricas de para coordenadas cartesianas
.
a - Converta as coordenadas esféricas de
Seja o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas. Calcule o divergente
e verifique se ele é nulo em
. Utilize a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas.
Considere o campo vetorial
e uma superfície esférica
de raio
metros centrada na origem. Usando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de
através da superfície
nos dois modos possíveis (dois lados do teorema da divergência).