Seja o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas. Calcule o divergente
e verifique se ele é nulo em
. Utilize a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo vetorial
em coordenadas cilíndricas e pede para calcular o divergente
. Depois, vamos verificar se esse divergente é zero no ponto específico
. Para isso, vamos precisar da fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas e entender como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas
, o divergente de um vetor
é dado por:
No nosso caso,
, então temos:
Passo 3
Vamos calcular cada termo do divergente separadamente.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 4
Agora, somamos os três termos para encontrar o divergente total:
Passo 5
Finalmente, vamos verificar se o divergente é nulo no ponto
.
Substituindo os valores:
Como
, o divergente não é nulo nesse ponto.
Resposta
O divergente de
é
e, no ponto
, ele vale
, ou seja, não é nulo.
Exercícios relacionados
Dado o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas, calcule o rotacional
.
Uma superfície cilíndrica é definida por
. Com base nessas informações, resolva:
a - Determine o elemento de área da superfície lateral do cilindro.
a - Determine o elemento de área
Considere o campo vetorial
e uma superfície esférica
de raio
metros centrada na origem. Usando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de
através da superfície
nos dois modos possíveis (dois lados do teorema da divergência).
Considere os vetores
e
. Resolva:
b - Verifique se os vetores e
são ortogonais calculando o produto escalar
.
b - Verifique se os vetores