Seja o campo vetorial H=rho^2 rho+z^2 k em coordenadas cilíndricas. Calcule o divergente nabla cdot H e verifique se ele é nulo em (rho, phi, z)=(1,0,2). Utilize a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo vetorial H = rho^2 rho + z^2 k em coordenadas cilíndricas e pede para calcular o divergente nabla cdot H. Depois, vamos verificar se esse divergente é zero no ponto específico (rho, phi, z) = (1, 0, 2). Para isso, vamos precisar da fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas (rho, phi, z), o divergente de um vetor A = Arho rho + Aphi phi + Az k é dado por:
nabla cdot A = 1rho partial (rho Arho)partial rho + 1rho partial Aphipartial phi + partial Azpartial z
No nosso caso, H = rho^2 rho + z^2 k, então temos:
Arho = rho^2, Aphi = 0, Az = z^2

Passo 3

Vamos calcular cada termo do divergente separadamente.
Primeiro termo:
1rho partial (rho Arho)partial rho = 1rho partial (rho cdot rho^2)partial rho = 1rho partial (rho^3)partial rho = 1rho cdot 3rho^2 = 3rho
Segundo termo:
1rho partial Aphipartial phi = 1rho partial 0partial phi = 0
Terceiro termo:
partial Azpartial z = partial z^2partial z = 2z

Passo 4

Agora, somamos os três termos para encontrar o divergente total:
nabla cdot H = 3rho + 0 + 2z = 3rho + 2z

Passo 5

Finalmente, vamos verificar se o divergente é nulo no ponto (rho, phi, z) = (1, 0, 2).
Substituindo os valores:
nabla cdot H = 3(1) + 2(2) = 3 + 4 = 7
Como 7 neq 0, o divergente não é nulo nesse ponto.

Resposta

O divergente de H é 3rho + 2z e, no ponto (1, 0, 2), ele vale 7, ou seja, não é nulo.

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