Seja o campo vetorial em coordenadas cilíndricas. Calcule o divergente e verifique se ele é nulo em . Utilize a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo vetorial em coordenadas cilíndricas e pede para calcular o divergente . Depois, vamos verificar se esse divergente é zero no ponto específico . Para isso, vamos precisar da fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas , o divergente de um vetor é dado por:
No nosso caso, , então temos:

Passo 3

Vamos calcular cada termo do divergente separadamente.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:

Passo 4

Agora, somamos os três termos para encontrar o divergente total:

Passo 5

Finalmente, vamos verificar se o divergente é nulo no ponto .
Substituindo os valores:
Como , o divergente não é nulo nesse ponto.

Resposta

O divergente de é e, no ponto , ele vale , ou seja, não é nulo.

Exercícios relacionados

Dado o campo vetorial em coordenadas cilíndricas, calcule o rotacional .
Uma superfície cilíndrica é definida por . Com base nessas informações, resolva:
a - Determine o elemento de área da superfície lateral do cilindro.
Considere o campo vetorial e uma superfície esférica de raio metros centrada na origem. Usando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de através da superfície nos dois modos possíveis (dois lados do teorema da divergência).
Considere os vetores e . Resolva:
b - Verifique se os vetores e são ortogonais calculando o produto escalar .