Considere o ponto no sistema de coordenadas polares, onde . Resolva:
a - Calcule as coordenadas cartesianas do ponto .

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos um ponto no sistema de coordenadas polares, com:
  • metros (a distância do ponto até a origem)
  • radianos (o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo positivo )
Nosso objetivo é converter essas coordenadas polares para o sistema de coordenadas cartesianas . Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de conversão entre esses dois sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas que relacionam as coordenadas polares com as cartesianas:
Essas fórmulas nos permitem encontrar as coordenadas e a partir de e .

Passo 3

Vamos calcular a coordenada usando a fórmula .
Substituindo os valores fornecidos:
Sabemos que:
Então:
Portanto, metros.

Passo 4

Agora, vamos calcular a coordenada usando a fórmula .
Substituindo os valores fornecidos:
Sabemos que:
Então:
Portanto, metros.

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são metros e metros.

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Considere o campo vetorial e uma superfície esférica de raio metros centrada na origem. Usando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de através da superfície nos dois modos possíveis (dois lados do teorema da divergência).
Dado um ponto em coordenadas cilíndricas com , determine:
b - O vetor posição de em termos de suas componentes cartesianas, com base na transformação de coordenadas cilíndricas para cartesianas.
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b- O módulo do vetor .