Considere o ponto P(rho, theta) no sistema de coordenadas polares, onde rho=5 me theta=pi3 rad. Resolva:
a - Calcule as coordenadas cartesianas (x, y) do ponto P.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos um ponto no sistema de coordenadas polares, com:
  • metros (a distância do ponto até a origem)
  • radianos (o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo positivo )
Nosso objetivo é converter essas coordenadas polares para o sistema de coordenadas cartesianas . Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de conversão entre esses dois sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas que relacionam as coordenadas polares com as cartesianas:
x = rho cos(theta)
y = rho sin(theta)
Essas fórmulas nos permitem encontrar as coordenadas e a partir de e .

Passo 3

Vamos calcular a coordenada x = 5 cos(pi3) usando a fórmula cos(pi3) = 12 .
Substituindo os valores fornecidos:
x = 5 times 12 = 2,5
Sabemos que:
Então:
Portanto, metros.

Passo 4

Agora, vamos calcular a coordenada y = 5 sin(pi3) usando a fórmula sin(pi3) = raiz32 .
Substituindo os valores fornecidos:
y = 5 times raiz32 = 5raiz32 approx 4,33
Sabemos que:
Então:
Portanto, metros.

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são metros e metros.

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