Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
onde
é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de equações
e
.
Figura 1: região do exercício 11
Passo 1
Beleza, temos que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral envolvendo funções de
e
ao longo de um contorno poligonal fechado
. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva
fechada e positivamente orientada:
Aqui,
é a região delimitada por
, e
e
são funções de
e
.
Passo 3
No nosso caso, identificamos:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região
:
Então, precisamos definir os limites da região
.
Passo 6
A região
é delimitada pelas retas:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para determinar os limites de integração:
- Entre
e :
⟹ ⟹ , então - Entre
e :
⟹ - Entre
e :
⟹
Então,
varia de 0 a 3, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 7
Agora, configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse
.
Considere a curva
do plano
que pode ser descrita pelas equações paramétricas
onde o parâmetro
varia no intervalo
. Essa curva
delimita uma região
do plano cujo formato é parecido com o de uma palheta de violão (ver figura ao lado). Determine a área desta região
.
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Além disso, lembre que a integral da função
pode ser calculada observando que
e fazendo a substituição
.
Considere o campo vetorial
. Calcule
onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação
e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.
Encontre uma curva fechada simples
com orientação anti-horária que minimize o valor de
Sugestão: use o Teorema de Green.
Figura 2: Gráfico da função
, produzido no GeoGebra 3D. Clique aquil para visualizar o gráfico no seu navegador.