Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
ointC(x^3+2 x y) d x+(3 x^2+cos 3 y) d y
onde C é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de equações y=-x+6, y=x e x=0.
Figura 1: região do exercício 11

Passo 1

Beleza, temos que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral envolvendo funções de e ao longo de um contorno poligonal fechado . Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA fechada e positivamente orientada:
Aqui, é a região delimitada por , e e são funções de e .

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região integral duplaD (6x - 2x) , dA = integral duplaD 4x , dA :
Então, precisamos definir os limites da região .

Passo 6

A região é delimitada pelas retas:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para determinar os limites de integração:
  • Entre e :
    , então
  • Entre e :
  • Entre e :
Então, varia de 0 a 3, e para cada , varia de até .

Passo 7

Agora, configuramos a integral dupla:
integralx=0^3 integraly=x^-x+6 4x , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integralx=0^3 [ 4x cdot y ]y=x^y=-x+6 dx = integral0^3 4x [(-x + 6) - x] , dx = integral0^3 4x (-2x + 6) , dx :
integral0^3 (-8x^2 + 24x) , dx
Simplificando:
[ -83x^3 + 12x^2 ]0^3 = ( -83(27) + 12(9) ) - 0 = (-72) + 108 = 36
Integrando termo a termo:

Resposta

A integral de linha vale .

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