Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
onde é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de equações e .
Figura 1: região do exercício 11

Passo 1

Beleza, temos que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral envolvendo funções de e ao longo de um contorno poligonal fechado . Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada e positivamente orientada:
Aqui, é a região delimitada por , e e são funções de e .

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região :
Então, precisamos definir os limites da região .

Passo 6

A região é delimitada pelas retas:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para determinar os limites de integração:
  • Entre e :
    , então
  • Entre e :
  • Entre e :
Então, varia de 0 a 3, e para cada , varia de até .

Passo 7

Agora, configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando:
Integrando termo a termo:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse .
Considere a curva do plano que pode ser descrita pelas equações paramétricas
onde o parâmetro varia no intervalo . Essa curva delimita uma região do plano cujo formato é parecido com o de uma palheta de violão (ver figura ao lado). Determine a área desta região .
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Além disso, lembre que a integral da função pode ser calculada observando que
e fazendo a substituição .
Considere o campo vetorial . Calcule
onde é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.
Encontre uma curva fechada simples com orientação anti-horária que minimize o valor de
Sugestão: use o Teorema de Green.
Figura 2: Gráfico da função , produzido no GeoGebra 3D. Clique aquil para visualizar o gráfico no seu navegador.