Encontre a div
para o campo vetorial dado:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a divergência do campo vetorial dado por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente o cálculo de divergência de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência é uma operação que, dada um campo vetorial, nos diz o quanto ele está “se expandindo” ou “se contraindo” em um ponto. Matematicamente, para um campo vetorial
, a divergência é calculada como:
Passo 3
No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Passo 6
Finalmente, somamos as derivadas parciais para encontrar a divergência:
Resposta
A divergência do campo vetorial
é:
Exercícios relacionados
Encontre um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
Considere o campo vetorial
. Mostre que
pode ser escrito como o gradiente de um potencial
. Mostre também que a integral de linha de
ao redor do círculo unitário
é diferente de zero. Explique por que este resultado não contradiz o Teorema 3.1.
Encontre o rotacional dos campos vetoriais:
;
Nos exercícios 3 a 6, determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.