Encontre um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar um campo vetorial conservativo sabendo que a função potencial é
. Isso está dentro do assunto de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Pra resolver, vamos precisar saber como calcular o gradiente da função potencial.
Passo 2
Primeiro, lembra que um campo vetorial conservativo é aquele que pode ser expresso como o gradiente de uma função potencial. Ou seja, se temos
, o campo
conservativo é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Para
:
- De forma similar, para
e :
Passo 5
Então, juntando tudo, o campo vetorial conservativo
é:
Resposta
O campo vetorial conservativo é
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
. Mostre que
pode ser escrito como o gradiente de um potencial
. Mostre também que a integral de linha de
ao redor do círculo unitário
é diferente de zero. Explique por que este resultado não contradiz o Teorema 3.1.
Encontre o gradiente do campo escalar
e avalie-o no ponto (1, 2, 3). Portanto, encontre a derivada direcional de
neste ponto na direção do vetor
.
Encontre a div
para o campo vetorial dado:
Encontre o rotacional dos campos vetoriais:
;