Encontre um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: d f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(1/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar um campo vetorial conservativo sabendo que a função potencial é . Isso está dentro do assunto de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Pra resolver, vamos precisar saber como calcular o gradiente da função potencial.

Passo 2

Primeiro, lembra que um campo vetorial conservativo é aquele que pode ser expresso como o gradiente de uma função potencial. Ou seja, se temos , o campo conservativo é dado por .

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  • Para :
  • De forma similar, para e :

Passo 5

Então, juntando tudo, o campo vetorial conservativo é:

Resposta

O campo vetorial conservativo é

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Considere o campo vetorial F(x) = < y / (x^2 + y^2), -x / (x^2 + y^2), 0 >. Mostre que F pode ser escrito como o gradiente de um potencial phi. Mostre também que a integral de linha de F ao redor do círculo unitário x^2 + y^2 = 1 é diferente de zero. Explique por que este resultado não contradiz o Teorema 3.1.
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