Verifique se as funções e dadas, constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do segundo grau:
O objetivo é verificar se as funções dadas:
formam um conjunto fundamental de soluções para essa equação no intervalo . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais lineares homogêneas e conjuntos fundamentais de soluções. Vamos usar o Wronskiano para verificar se essas soluções são lineares e independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções e necessárias para montar o Wronskiano.
Para :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
Para :
  • Primeira derivada: Usando a regra do produto:
    - Segunda derivada: Mais uma vez, usando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos montar o Wronskiano das duas funções. O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes. Ele é definido como:
Substituindo as funções e suas derivadas:
Calculando o determinante:

Passo 4

Para que e formem um conjunto fundamental de soluções, o Wronskiano deve ser diferente de zero no intervalo considerado ( ).
Analisando o Wronskiano que calculamos:
Sabemos que é sempre positivo para qualquer valor de , e é positivo para . Como estamos considerando , o produto será sempre positivo nesse intervalo. Portanto, .

Resposta

Sim, as funções e constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada no intervalo .

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