Verifique se as funções e dadas, constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do segundo grau:
O objetivo é verificar se as funções dadas:
formam um conjunto fundamental de soluções para essa equação no intervalo . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais lineares homogêneas e conjuntos fundamentais de soluções. Vamos usar o Wronskiano para verificar se essas soluções são lineares e independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções e necessárias para montar o Wronskiano.
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada: Usando a regra do produto:
- Segunda derivada: Mais uma vez, usando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos montar o Wronskiano das duas funções. O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes. Ele é definido como:
Substituindo as funções e suas derivadas:
Calculando o determinante:
Passo 4
Para que e formem um conjunto fundamental de soluções, o Wronskiano deve ser diferente de zero no intervalo considerado ().
Analisando o Wronskiano que calculamos:
Sabemos que é sempre positivo para qualquer valor de , e é positivo para . Como estamos considerando , o produto será sempre positivo nesse intervalo. Portanto, .
Resposta
Sim, as funções e constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada no intervalo .