Determinar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto
e tal que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função
que passe pelo ponto
e que, em qualquer ponto
, a reta tangente tenha coeficiente angular
. Isso tudo faz parte da matéria de cálculo, especificamente de equações diferenciais. Vamos precisar usar derivadas e técnicas de resolução de equações diferenciais para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o coeficiente angular da reta tangente é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Então, podemos escrever:
Essa é a nossa equação diferencial que vamos resolver para encontrar
.
Passo 3
Vamos tentar separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Primeiro, vamos reorganizar a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar para separar
e
:
Vamos tentar escrever isso de forma que possamos integrar ambos os lados. Observando a equação, percebemos que ela pode ser reescrita como:
Agora, dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 5
Percebo que a equação está ficando complicada para separarmos as variáveis diretamente. Então, vamos tentar uma substituição. Vamos definir
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos uma equação diferencial linear na forma
. Para resolver, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
:
Portanto,
.
Passo 9
Substituindo
na equação, temos:
Isolando
:
Passo 10
Finalmente, para encontrar
, tiramos o arco seno de ambos os lados:
Resposta
A função que satisfaz as condições é: