Determinar uma função cujo o gráfico passe pelo ponto e tal que a reta tangente no ponto genérico tenha coeficiente angular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função que passe pelo ponto e que, em qualquer ponto , a reta tangente tenha coeficiente angular . Isso tudo faz parte da matéria de cálculo, especificamente de equações diferenciais. Vamos precisar usar derivadas e técnicas de resolução de equações diferenciais para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, sabemos que o coeficiente angular da reta tangente é a derivada de em relação a , ou seja, . Então, podemos escrever:
Essa é a nossa equação diferencial que vamos resolver para encontrar .

Passo 3

Vamos tentar separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Primeiro, vamos reorganizar a equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos rearranjar para separar e :
Vamos tentar escrever isso de forma que possamos integrar ambos os lados. Observando a equação, percebemos que ela pode ser reescrita como:
Agora, dividindo ambos os lados por :
Isolando :

Passo 5

Percebo que a equação está ficando complicada para separarmos as variáveis diretamente. Então, vamos tentar uma substituição. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é:
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial linear na forma . Para resolver, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , :
Portanto, .

Passo 9

Substituindo na equação, temos:
Isolando :

Passo 10

Finalmente, para encontrar , tiramos o arco seno de ambos os lados:

Resposta

A função que satisfaz as condições é:

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Considere o campo vetorial . Calcule
onde é a fronteira da região do primeiro quadrante situada entre os círculos , percorrida no sentido anti-horário.
A curva que delimita a região hachurada na figura abaixo é conhecida como astroide. Um astroide pode ser obtido fazendo um círculo rodar sem deslizar sobre outro círculo, como pode ser visto nessa animação aqui.
Possíveis equações paramétricas para o astroide são
onde o parâmetro varia no intervalo . Determine a área da região hachurada.
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Verifique se as funções e dadas, constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada: .
Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações: ,