Considere o campo vetorial
, onde
Mostre que
não é independente do caminho.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial
, onde:
O que precisamos mostrar é que a integral de linha
não é independente do caminho. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e independência do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo (ou seja, a integral é independente do caminho) se existir uma função potencial
tal que:
Isso implica que as derivadas parciais de
e
devem satisfazer a seguinte condição:
Vamos verificar se essa igualdade se mantém para o nosso campo
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Observamos que:
Portanto,
Isso sugeriria que o campo
é conservativo. Contudo, precisamos verificar se o domínio do campo é simplesmente conexo (ou seja, não possui “buracos”). No nosso caso, o denominador
se anula no ponto
, o que torna o domínio não simplesmente conexo, pois existe um ponto onde o campo não está definido.
Passo 5
Para confirmar que a integral realmente depende do caminho, podemos escolher um caminho fechado que circunda o ponto
.
Vamos usar o círculo de raio
centrado na origem, parametrizado por:
Calculando a integral:
Substituindo
,
,
e
:
Substituindo na integral:
Resposta
Como a integral ao longo de um caminho fechado resulta em
, isso mostra que
não é independente do caminho.
Exercícios relacionados
Utilizando as propriedades de limite, calcule:
Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas.
Resolver as seguintes integrais definidas:
d)
d)
Resolver as seguintes integrais definidas:
f)
f)