Considere o campo vetorial F(x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j, onde
P(x, y)=-yx^2+y^2 e Q(x, y)=xx^2+y^2
Mostre que integralC F cdot d r não é independente do caminho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial P(x, y) = -yx^2 + y^2 e Q(x, y) = xx^2 + y^2 , onde:
O que precisamos mostrar é que a integral de linha não é independente do caminho. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e independência do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo (ou seja, a integral é independente do caminho) se existir uma função potencial F = nabla phi tal que:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
Isso implica que as derivadas parciais de e devem satisfazer a seguinte condição:
Vamos verificar se essa igualdade se mantém para o nosso campo .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada de Q = xx^2 + y^2 partial Qpartial x = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 em relação a P = -yx^2 + y^2 partial Ppartial y = -1(x^2 + y^2) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -(x^2 + y^2) + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 4

Observamos que:
partial Qpartial x = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 partial Ppartial y = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
Portanto,
Isso sugeriria que o campo é conservativo. Contudo, precisamos verificar se o domínio do campo é simplesmente conexo (ou seja, não possui “buracos”). No nosso caso, o denominador se anula no ponto , o que torna o domínio não simplesmente conexo, pois existe um ponto onde o campo não está definido.

Passo 5

Para confirmar que a integral realmente depende do caminho, podemos escolher um caminho fechado que circunda o ponto x = r cos theta y = r sin theta theta in [0, 2pi] .
Vamos usar o círculo de raio ointC F cdot dr = ointC P , dx + Q , dy centrado na origem, parametrizado por:
P = -yx^2 + y^2 = -r sin thetar^2 = -sin thetar Q = xx^2 + y^2 = r cos thetar^2 = cos thetar dx = -r sin theta , dtheta dy = r cos theta , dtheta
Calculando a integral:
ointC F cdot dr = integral0^2pi ( -sin thetar (-r sin theta) + cos thetar (r cos theta) ) dtheta = integral0^2pi (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta = integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
Substituindo , , e :
Substituindo na integral:

Resposta

Como a integral ao longo de um caminho fechado resulta em , isso mostra que não é independente do caminho.

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