Considere o campo vetorial , onde
Mostre que não é independente do caminho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial , onde:
O que precisamos mostrar é que a integral de linha não é independente do caminho. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e independência do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo (ou seja, a integral é independente do caminho) se existir uma função potencial tal que:
Isso implica que as derivadas parciais de e devem satisfazer a seguinte condição:
Vamos verificar se essa igualdade se mantém para o nosso campo .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 4

Observamos que:
Portanto,
Isso sugeriria que o campo é conservativo. Contudo, precisamos verificar se o domínio do campo é simplesmente conexo (ou seja, não possui “buracos”). No nosso caso, o denominador se anula no ponto , o que torna o domínio não simplesmente conexo, pois existe um ponto onde o campo não está definido.

Passo 5

Para confirmar que a integral realmente depende do caminho, podemos escolher um caminho fechado que circunda o ponto .
Vamos usar o círculo de raio centrado na origem, parametrizado por:
Calculando a integral:
Substituindo , , e :
Substituindo na integral:

Resposta

Como a integral ao longo de um caminho fechado resulta em , isso mostra que não é independente do caminho.

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Resolver as seguintes integrais definidas:
d)
Resolver as seguintes integrais definidas:
f)