Resolver as seguintes integrais definidas:
d) integral1^2e^2 cos (ln x) d xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida:
integral1^2e^2 cos (ln x)x , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas e logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição. A substituição ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro do cosseno. Observando a função cos(ln x), percebemos que o argumento do cosseno é ln x. Então, vamos definir:
t = ln x
Agora, precisamos encontrar dt em termos de dx. Derivando ambos os lados em relação a x:
dt = 1x dx Rightarrow dxx = dt
Isso é ótimo porque na nossa integral original temos dxx.

Passo 3

Agora, vamos substituir t = ln x na integral. Também precisamos ajustar os limites de integração de x para t.
Quando x = 1:
t = ln 1 = 0
Quando x = 2e^2:
t = ln(2e^2) = ln 2 - 2
Substituindo tudo na integral:
integral0^ln 2 - 2 cos(t) , dt

Passo 4

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral cos(t) , dt
A integral de cos(t) em relação a t é sin(t). Então, vamos integrar e aplicar os limites de integração:
sin(t) |0^ln 2 - 2 = sin(ln 2 - 2) - sin(0)
Sabemos que sin(0) = 0, então:
sin(ln 2 - 2) - 0 = sin(ln 2 - 2)

Resposta

A integral definida vale sin(ln 2 - 2).

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