Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas. (4 raiz(2), pi/3, pi/4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mudar as coordenadas de cilíndricas para esféricas. O ponto que temos é . Nas coordenadas cilíndricas, esses valores representam , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo no plano ,
  • é a altura acima do plano .
Para mudar para coordenadas esféricas, que são , precisamos calcular:
  • , que é a distância do ponto à origem,
  • , que é o ângulo entre o vetor posição e o eixo ,
  • que permanece o mesmo, sendo o ângulo no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Na coordenada esférica, é a distância do ponto à origem e pode ser calculada usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:

Passo 3

Vamos calcular :
E :
Então, somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular . O ângulo é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 5

Por fim, a coordenada permanece a mesma na transformação de cilíndricas para esféricas. Então:

Resposta

As coordenadas esféricas do ponto são .

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