Resolver as seguintes integrais definidas:
f) integral1^3 xraiz[3]x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve raízes e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Vamos definir:
u = x^2 - 1
Isso significa que:
du = 2x , dx
Ou seja:
du2 = x , dx
Vamos substituir essas partes na nossa integral original.

Passo 3

Substituindo integral1^3 xraiz[3]x^2-1 , dx = integralu(1)^u(3) 1raiz[3]u cdot du2 e u(1) = 1^2 - 1 = 0 na integral, temos:
u(3) = 3^2 - 1 = 8
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração. Quando 12 integral0^8 u^-1/3 , du :
E quando :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . A regra básica para integrar integral u^-1/3 , du = u^2/32/3 = 32 u^2/3 é:
Aqui, , então:

Passo 5

Voltando à nossa integral:
12 cdot 32 u^2/3 |0^8 = 34 u^2/3 |0^8
Agora, substituímos os limites de integração:
Para 34 cdot 8^2/3 :
34 cdot 0^2/3 = 0
E para :

Passo 6

Calculando 8^1/3 = 2 :
8^2/3 = (8^1/3)^2 = 2^2 = 4
Então:
34 cdot 4 = 3
Portanto:

Resposta

O valor da integral definida é 3.

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