Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
, orientada no sentido anti horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem um campo vetorial
e precisamos calcular a integral de linha
ao longo da curva
, que é uma elipse na parte superior direita do plano, ou seja,
e
, orientada anti-horária. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais de linha e campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo vetorial
. Ele é dado por:
Esse campo pode ser simplificado observando que
é a distância do ponto
à origem, ou seja, o módulo do vetor posição. Então, podemos escrever:
Perceba que
aponta na direção do vetor posição, mas com magnitude inversamente proporcional à distância da origem.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
. A equação dada é
, que é uma elipse com eixo maior no eixo
de comprimento 2 e eixo menor no eixo
de comprimento 1. Para parametrizar essa elipse, podemos usar:
onde
varia de
a
por causa das restrições
e
e da orientação anti-horária.
Passo 4
Vamos expressar
, o vetor diferencial de posição:
Então, o produto escalar
será:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador
:
Infelizmente, isso não simplifica de maneira fácil, então talvez exista uma abordagem mais inteligente. Observando o campo vetorial
, vemos que:
onde
é o vetor posição. Isso é o mesmo que um campo que aponta na direção radial com magnitude 1. Sabendo disso, podemos usar a propriedade de campos conservativos ou outra técnica para facilitar a integração.
Passo 6
No entanto, percebemos que
não é conservativo, já que o rotacional de
não é zero. Então, uma boa estratégia é calcular a integral diretamente usando a parametrização.
Vamos voltar à expressão da integral:
Passo 7
Simplificando os termos dentro da integral:
Essa integral parece complicada, mas podemos tentar uma substitui�o. Vamos deixar
, então
. Quando
,
; quando
,
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, resolvemos essa integral:
Fazendo outra substituição, deixamos
, então
e
.
Passo 10
Substituindo:
Voltando a
:
Agora, aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral é
.
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