Considere o campo vetorial
Calcule , onde , orientada no sentido anti horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha ao longo da curva , que é uma elipse na parte superior direita do plano, ou seja, e , orientada anti-horária. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais de linha e campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo vetorial . Ele é dado por:
Esse campo pode ser simplificado observando que é a distância do ponto à origem, ou seja, o módulo do vetor posição. Então, podemos escrever:
Perceba que aponta na direção do vetor posição, mas com magnitude inversamente proporcional à distância da origem.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva . A equação dada é , que é uma elipse com eixo maior no eixo de comprimento 2 e eixo menor no eixo de comprimento 1. Para parametrizar essa elipse, podemos usar:
onde varia de a por causa das restrições e e da orientação anti-horária.

Passo 4

Vamos expressar , o vetor diferencial de posição:
Então, o produto escalar será:

Passo 5

Vamos simplificar o denominador :
Infelizmente, isso não simplifica de maneira fácil, então talvez exista uma abordagem mais inteligente. Observando o campo vetorial , vemos que:
onde é o vetor posição. Isso é o mesmo que um campo que aponta na direção radial com magnitude 1. Sabendo disso, podemos usar a propriedade de campos conservativos ou outra técnica para facilitar a integração.

Passo 6

No entanto, percebemos que não é conservativo, já que o rotacional de não é zero. Então, uma boa estratégia é calcular a integral diretamente usando a parametrização.
Vamos voltar à expressão da integral:

Passo 7

Simplificando os termos dentro da integral:
Essa integral parece complicada, mas podemos tentar uma substituiç��o. Vamos deixar , então . Quando , ; quando , .

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Agora, resolvemos essa integral:
Fazendo outra substituição, deixamos , então e .

Passo 10

Substituindo:
Voltando a :
Agora, aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral é .

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