Considere o campo vetorial
F(x, y)=xraizx^2+y^2 i+yraizx^2+y^2 j
Calcule integralC F d r, onde C=(x, y) in R^2 ; x^24+y^2=1, x >= 0, y >= 0, orientada no sentido anti horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha ao longo da curva , que é uma elipse na parte superior direita do plano, ou seja, e , orientada anti-horária. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais de linha e campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo vetorial F(x, y) = xraizx^2+y^2 i + yraizx^2+y^2 j . Ele é dado por:
F(x, y) = 1raizx^2+y^2 (x i + y j)
Esse campo pode ser simplificado observando que é a distância do ponto à origem, ou seja, o módulo do vetor posição. Então, podemos escrever:
Perceba que aponta na direção do vetor posição, mas com magnitude inversamente proporcional à distância da origem.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva x = 2 cos theta, y = sin theta . A equação dada é , que é uma elipse com eixo maior no eixo de comprimento 2 e eixo menor no eixo de comprimento 1. Para parametrizar essa elipse, podemos usar:
onde varia de a por causa das restrições e e da orientação anti-horária.

Passo 4

Vamos expressar dr = dxdtheta dtheta i + dydtheta dtheta j = (-2 sin theta , dtheta) i + (cos theta , dtheta) j , o vetor diferencial de posição:
F cdot dr = ( 2 cos thetaraiz(2 cos theta)^2 + (sin theta)^2 )(-2 sin theta , dtheta) + ( sin thetaraiz(2 cos theta)^2 + (sin theta)^2 )(cos theta , dtheta)
Então, o produto escalar será:

Passo 5

Vamos simplificar o denominador raiz4 cos^2 theta + sin^2 theta = raiz4 cos^2 theta + sin^2 theta :
F(x, y) = r|r|
Infelizmente, isso não simplifica de maneira fácil, então talvez exista uma abordagem mais inteligente. Observando o campo vetorial , vemos que:
onde é o vetor posição. Isso é o mesmo que um campo que aponta na direção radial com magnitude 1. Sabendo disso, podemos usar a propriedade de campos conservativos ou outra técnica para facilitar a integração.

Passo 6

No entanto, percebemos que integral0^pi2 ( 2 cos thetaraiz4 cos^2 theta + sin^2 theta (-2 sin theta) + sin thetaraiz4 cos^2 theta + sin^2 theta cos theta ) dtheta não é conservativo, já que o rotacional de não é zero. Então, uma boa estratégia é calcular a integral diretamente usando a parametrização.
Vamos voltar à expressão da integral:

Passo 7

Simplificando os termos dentro da integral:
integral0^pi2 ( -4 cos theta sin theta + cos theta sin thetaraiz4 cos^2 theta + sin^2 theta ) dtheta = integral0^pi2 -3 cos theta sin thetaraiz4 cos^2 theta + sin^2 theta dtheta
Essa integral parece complicada, mas podemos tentar uma substituiç��o. Vamos deixar , então . Quando , ; quando , .

Passo 8

Substituindo na integral:
integralu=1^u=0 -3 u sin thetaraiz4 u^2 + (1 - u^2) ( -dusin theta ) = 3 integral0^1 uraiz4 u^2 + 1 - u^2 du = 3 integral0^1 uraiz3 u^2 + 1 du

Passo 9

Agora, resolvemos essa integral:
3 integral uraiz3 u^2 + 1 du
Fazendo outra substituição, deixamos , então e .

Passo 10

Substituindo:
3 integral uraizv cdot dv6 u = 36 integral v^-1/2 dv = 12 integral v^-1/2 dv = 12 cdot 2 v^1/2 + C = v^1/2 + C
Voltando a raiz3 u^2 + 1 :
raiz3 (1)^2 + 1 - raiz3 (0)^2 + 1 = raiz4 - raiz1 = 2 - 1 = 1
Agora, aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral é .

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