Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o teste da comparação ou teste da comparação no limite pra ver se a série
converge ou diverge. Isso envolve entender um pouquinho sobre séries e como comparamos elas com outras séries que já sabemos se convergem ou divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na parcela geral da série:
. Para comparar, precisamos encontrar uma série mais simples que seja fácil de analisar. Observando o denominador
, percebemos que para valores grandes de
, o termo
domina, então podemos simplificar esse denominador aproximando-o por
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que essa é uma série p, onde
. Séries p convergem quando
, então
converge.
Passo 4
Vamos usar o teste da comparação. Precisamos garantir que
para todo
a partir de um certo ponto. Observando os denominadores,
, então:
Passo 5
Como estabelecemos que
é menor ou igual a
e sabemos que
converge, pelo teste da comparação, nossa série
também converge.
Resposta
A série
converge.