Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
a) sumn=1^infty 1n^4+n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o teste da comparação ou teste da comparação no limite pra ver se a série converge ou diverge. Isso envolve entender um pouquinho sobre séries e como comparamos elas com outras séries que já sabemos se convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na parcela geral da série: . Para comparar, precisamos encontrar uma série mais simples que seja fácil de analisar. Observando o denominador , percebemos que para valores grandes de , o termo domina, então podemos simplificar esse denominador aproximando-o por .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que essa é uma série p, onde . Séries p convergem quando , então converge.

Passo 4

Vamos usar o teste da comparação. Precisamos garantir que 1n^4+n^2+1 <= 1n^4 para todo a partir de um certo ponto. Observando os denominadores, , então:

Passo 5

Como estabelecemos que é menor ou igual a e sabemos que converge, pelo teste da comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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