Utilize o teste da integral ou o teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral ou o teste da
-série para descobrir se a série
converge ou diverge. A gente vai precisar entender o que são esses testes e como aplicá-los para essa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral do termo geral da série converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 3
Vamos aplicar o teste da integral na nossa série. O termo geral da série é
. Para usar o teste da integral, vamos considerar a função contínua, positiva e decrescente
para
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral
. Para resolver essa integral, faz sentido usar uma substituição. Vamos deixar
, então
ou seja,
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Simplificando, a integral fica:
Passo 6
Essa integral é bem conhecida. A integral de
de 1 até infinito é igual a
. Portanto:
Como
é um número finito, a integral converge.
Passo 7
Segundo o teste da integral, se a integral de
de 1 até infinito converge, então a série
também converge. No nosso caso, a integral convergiu, então a série também converge.
Resposta
A série
converge.
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Calcule
, onde
, orientada no sentido anti horário.
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
i)
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d)
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h)
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