Utilize o teste da integral ou o teste da p-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(d) sumn=1^infty n^2 e^-n^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral ou o teste da p-série para descobrir se a série converge ou diverge. A gente vai precisar entender o que são esses testes e como aplicá-los para essa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral do termo geral da série converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da integral na nossa série. O termo geral da série é . Para usar o teste da integral, vamos considerar a função contínua, positiva e decrescente para .

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral . Para resolver essa integral, faz sentido usar uma substituição. Vamos deixar , então ou seja, .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Simplificando, a integral fica:
integral1^infty x^2 e^-x^3 dx = integral1^infty x^2 e^-u cdot du3x^2 = 13 integral1^infty e^-u du

Passo 6

Essa integral é bem conhecida. A integral de 13 integral1^infty e^-u du = 13 e^-1 de 1 até infinito é igual a . Portanto:
Como é um número finito, a integral converge.

Passo 7

Segundo o teste da integral, se a integral de de 1 até infinito converge, então a série também converge. No nosso caso, a integral convergiu, então a série também converge.

Resposta

A série converge.

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