Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
d)
Passo 1
Vamos analisar a série . Nosso objetivo é verificar se essa série converge, se a convergência é absoluta ou condicional, e, se possível, encontrar o valor da soma. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que facilite a identificação do tipo dela. Observamos que pode ser escrito como . Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que a série é uma série geométrica, cuja forma geral é , onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 4
Para que uma série geométrica converja, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1, ou seja, . No nosso caso, . Vamos verificar o valor absoluto:
Como , a série geométrica converge.
Passo 5
Sabendo que a série converge, podemos calcular a soma da série geométrica. A soma de uma série geométrica é dada por:
No nosso caso, o primeiro termo (pois a série começa em ) e . Portanto:
Resposta
A série converge e sua soma é . A convergência é absoluta.