Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
d) summ=1^infty (-3)^m+1pi^m

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é verificar se essa série converge, se a convergência é absoluta ou condicional, e, se possível, encontrar o valor da soma. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que facilite a identificação do tipo dela. Observamos que summ=1^infty (-3)^m+1pi^m = -3 summ=1^infty (-3pi)^m pode ser escrito como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a série é uma série geométrica, cuja forma geral é , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 4

Para que uma série geométrica converja, o valor absoluto da razão |-3pi| = 3pi approx 33,1416 approx 0,9549 deve ser menor que 1, ou seja, . No nosso caso, . Vamos verificar o valor absoluto:
Como , a série geométrica converge.

Passo 5

Sabendo que a série converge, podemos calcular a soma da série geométrica. A soma de uma série geométrica S = ar1 - r é dada por:
S = 1 cdot -3pi1 - (-3pi) = -3pi1 + 3pi = -3pi + 3
No nosso caso, o primeiro termo (pois a série começa em ) e . Portanto:

Resposta

A série converge e sua soma é . A convergência é absoluta.

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