Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
d)

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é verificar se essa série converge, se a convergência é absoluta ou condicional, e, se possível, encontrar o valor da soma. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que facilite a identificação do tipo dela. Observamos que pode ser escrito como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a série é uma série geométrica, cuja forma geral é , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 4

Para que uma série geométrica converja, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1, ou seja, . No nosso caso, . Vamos verificar o valor absoluto:
Como , a série geométrica converge.

Passo 5

Sabendo que a série converge, podemos calcular a soma da série geométrica. A soma de uma série geométrica é dada por:
No nosso caso, o primeiro termo (pois a série começa em ) e . Portanto:

Resposta

A série converge e sua soma é . A convergência é absoluta.

Exercícios relacionados

Utilize o teste da integral ou o teste da -série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(d)
Considere o campo vetorial
Calcule , onde , orientada no sentido anti horário.
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
h)
Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(h) para todo inteiro