Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
i)
i)
Passo 1
Vamos analisar a série
. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o teste da comparação ou comparação no limite. Para isso, precisamos entender como comparar os termos da série com outra série conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. A soma dos quadrados dos primeiros
inteiros é dada pela fórmula:
Portanto, o termo geral da série pode ser reescrito como:
Para facilitar a comparação, vamos simplificar essa expressão. Observando o denominador, para valores grandes de
,
é aproximadamente
. Assim, podemos aproximar o termo geral por:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que a série p,
, converge se
. No nosso caso,
, então a série
converge.
Passo 4
Como
para
grande, e sabemos que
converge, podemos concluir, pelo teste da comparação, que nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
a)
a)
Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
, orientada no sentido anti horário.
Utilize o teste da integral ou o teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(d)
(d)