Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
i) sumn=1^infty 11^2+2^2+3^2+cdots+n^2

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o teste da comparação ou comparação no limite. Para isso, precisamos entender como comparar os termos da série com outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. A soma dos quadrados dos primeiros 1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2 = n(n+1)(2n+1)6 inteiros é dada pela fórmula:
11^2+2^2+3^2+cdots+n^2 = 6n(n+1)(2n+1)
Portanto, o termo geral da série pode ser reescrito como:
62n^3 = 3n^3
Para facilitar a comparação, vamos simplificar essa expressão. Observando o denominador, para valores grandes de , é aproximadamente . Assim, podemos aproximar o termo geral por:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que a série p, , converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 4

Como para grande, e sabemos que converge, podemos concluir, pelo teste da comparação, que nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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