Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
i)

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o teste da comparação ou comparação no limite. Para isso, precisamos entender como comparar os termos da série com outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. A soma dos quadrados dos primeiros inteiros é dada pela fórmula:
Portanto, o termo geral da série pode ser reescrito como:
Para facilitar a comparação, vamos simplificar essa expressão. Observando o denominador, para valores grandes de , é aproximadamente . Assim, podemos aproximar o termo geral por:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que a série p, , converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 4

Como para grande, e sabemos que converge, podemos concluir, pelo teste da comparação, que nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
a)
Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
Considere o campo vetorial
Calcule , onde , orientada no sentido anti horário.
Utilize o teste da integral ou o teste da -série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(d)